Problem stożkowy Steinera

W geometrii wyliczeniowej problem stożka Steinera to problem znalezienia liczby gładkich stożków stycznych do pięciu danych stożków na płaszczyźnie w położeniu ogólnym . Jeśli problem jest rozważany na zespolonej płaszczyźnie rzutowej CP 2 , poprawnym rozwiązaniem jest 3264 ( Bashelor, Ksir & Traves (2008) ). Problem został nazwany na cześć Jakoba Steinera , który jako pierwszy go postawił i podał błędne rozwiązanie w 1848 roku.

Historia

Steiner (1848) twierdził, że liczba stożków stycznych do 5 przy danych stożkach w położeniu ogólnym wynosi 7776 = 6 5 , ale później zdał sobie sprawę, że to nieprawda. Prawidłowy numer 3264 został znaleziony około 1859 r. przez Ernesta de Jonquières , który nie publikował z powodu reputacji Steinera, oraz przez Chaslesa ( 1864 ), używając jego teorii cech, oraz przez Bernera w 1865 r. Jednak wyniki te, podobnie jak wiele innych w klasycznym skrzyżowaniu wydaje się, że nie podano pełnych dowodów aż do pracy Fultona i Macphersona około 1978 roku.

Formuła i rozwiązanie

Przestrzeń stożków (prawdopodobnie zdegenerowanych) w zespolonej płaszczyźnie rzutowej CP 2 można utożsamiać z zespoloną przestrzenią rzutową CP 5 (ponieważ każdy stożek jest zdefiniowany przez jednorodny wielomian stopnia 2 w trzech zmiennych, z 6 zespolonymi współczynnikami i mnożenie takich wielomian przez niezerową liczbę zespoloną nie zmienia stożka). Steiner zauważył, że stożki styczne do danego stożka tworzą hiperpowierzchnię stopnia 6 w CP 5 . Tak więc stożki styczne do 5 danych stożków odpowiadają punktom przecięcia hiperpowierzchni 5 stopni 6 i przez Twierdzenie Bézouta liczba punktów przecięcia 5 ogólnych hiperpowierzchni stopnia 6 wynosi 6 5 = 7776, co było błędnym rozwiązaniem Steinera. Powodem, dla którego jest to błędne, jest to, że pięć hiperpowierzchni stopnia 6 nie znajduje się w ogólnej pozycji i ma wspólne przecięcie na powierzchni Veronese , odpowiadający zestawowi podwójnych linii na płaszczyźnie, z których wszystkie mają podwójne punkty przecięcia z 5 stożkami. W szczególności przecięcie tych 5 hiperpowierzchni nie jest nawet 0-wymiarowe, ale ma składową 2-wymiarową. Aby więc znaleźć poprawną odpowiedź, trzeba jakoś wyeliminować z tego obliczenia płaszczyznę fałszywych zdegenerowanych stożków.

Jednym ze sposobów na wyeliminowanie zdegenerowanych stożków jest wysadzenie CP 5 wzdłuż powierzchni Veronese. Pierścień Chow powiększenia jest generowany przez H i E , gdzie H jest całkowitą transformacją hiperpłaszczyzny, a E jest wyjątkowym dzielnikiem. Całkowita transformacja hiperpowierzchni stopnia 6 wynosi 6 H , a Steiner obliczył (6 H ) 5 = 6 5 P jako H 5 = P (gdzie P jest klasą punktu w pierścieniu Chow). Jednak liczba stożków nie wynosi (6 H ) 5 , ale (6 H −2 E ) 5 , ponieważ ścisła transformata hiperpowierzchni stożków stycznej do danego stożka wynosi 6 H −2 E .

Załóżmy, że L = 2 H - E jest ścisłą transformacją stożków stycznych do danej prostej. Wtedy numery przecięć H i L są określone przez H 5 = 1 P , H 4 L = 2 P , H 3 L 2 = 4 P , H 2 L 3 = 4 P , H 1 L 4 = 2 P , L 5 = 1 P. Mamy więc (6 H −2 E ) 5 = (2 H +2 L ) 5 = 3264 P .

Fulton i MacPherson (1978) dokładnie opisali, co dokładnie oznacza „ogólne stanowisko” (chociaż ich dwa twierdzenia na ten temat nie są całkiem słuszne i zostały poprawione w notatce na stronie 29 ich artykułu). Jeśli pięć stożków ma właściwości, które

  • nie ma takiej linii, aby każdy z 5 stożków był albo styczny do niego, albo przechodził przez jeden z dwóch stałych punktów na nim (w przeciwnym razie istnieje „podwójna linia z 2 zaznaczonymi punktami” styczna do wszystkich 5 stożków)
  • żadne trzy stożki nie przechodzą przez żaden punkt (w przeciwnym razie istnieje „podwójna linia z 2 zaznaczonymi punktami” styczna do wszystkich 5 stożków przechodzących przez ten potrójny punkt przecięcia)
  • żadne dwa stożki nie są styczne
  • żadne trzy z pięciu stożków nie są styczne do prostej
  • para linii, z których każda jest styczna do dwóch stożków, nie przecina się na piątym stożku (w przeciwnym razie ta para jest zdegenerowanym stożkiem stycznym do wszystkich 5 stożków)

wtedy całkowita liczba stożków C stycznych do wszystkich 5 (liczonych z krotnościami) wynosi 3264. Tutaj krotność jest dana przez iloczyn wszystkich 5 stożków Ci z (4 − liczba punktów przecięcia C i Ci ) . W szczególności, jeśli C przecina każdy z pięciu stożków dokładnie w 3 punktach (jeden podwójny punkt styczności i dwa inne), to krotność wynosi 1, a jeśli ten warunek jest zawsze spełniony, to dokładnie 3264 stożków jest stycznych do 5 danych stożków.

W przypadku innych algebraicznie zamkniętych ciał odpowiedź jest podobna, chyba że pole ma cechę 2 , w którym to przypadku liczba stożków wynosi 51, a nie 3264.

  •    Bashelor, Andrzej; Ksir, Amy; Traves, Will (2008), „Wyliczeniowa algebraiczna geometria stożków” (PDF) , Amer. Matematyka Miesięczny , 115 (8): 701–728, doi : 10.1080/00029890.2008.11920584 , JSTOR 27642583 , MR 2456094
  • Chasles, M. (1864), „Construction des coniques qui satisfont à cinque condition”, CR Acad. nauka Paryż , 58 : 297–308
  •   Eisenbud, Dawid; Joe, Harris (2016), 3264 i wszystko to: drugi kurs geometrii algebraicznej , CUP, ISBN 978-1107602724
  •    Fulton, William; MacPherson, Robert (1978), „Definiowanie przecięć algebraicznych”, Geometria algebraiczna (Proc. Sympos., Univ. Tromsø, Tromsø, 1977) , Notatki z wykładu z matematyki, tom. 687, Berlin: Springer, s. 1–30, doi : 10.1007/BFb0062926 , ISBN 978-3-540-08954-4 , MR 0527228
  • Steiner, J. (1848), "Elementare Lösung einer geometrischen Aufgabe, und über einige damit in Beziehung stehende Eigenschaften der Kegelschnitte" , J. Reine Angew. Matematyka , 37 : 161–192

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Steiner%27s_conic_problem&oldid=1073402276 ”