Problem stu kur

stu ptaków to problem po raz pierwszy omówiony w chińskim tekście matematycznym z V wieku n.e. Zhang Qiujian suanjing (The Mathematical Classic of Zhang Qiujian), książce problemów matematycznych napisanej przez Zhanga Qiujiana. Jest to jeden z najbardziej znanych przykładów problemów nieokreślonych we wczesnej historii matematyki. Problem pojawia się jako ostatni problem w Zhang Qiujian suanjing (Zadanie 38 w rozdziale 3). Jednak problem i jego warianty pojawiły się w średniowiecznej literaturze matematycznej Indii, Europy i świata arabskiego.

Nazwa „Problem stu ptaków” pochodzi od belgijskiego historyka Louisa van Hee.

Oświadczenie o problemie

Problem stu ptaków przedstawiony w Zhang Qiujian suanjing można przetłumaczyć w następujący sposób:

„Teraz jeden kogut jest wart 5 qian, jedna kura 3 qian, a 3 pisklęta 1 qian. Należy kupić 100 kur za 100 qian. W każdym przypadku znajdź liczbę zakupionych kogutów, kur i piskląt”.

Sformułowanie matematyczne

Niech x będzie liczbą kogutów, y liczbą kur, a z liczbą piskląt, to problem polega na znalezieniu x , y i z spełniających następujące równania:

x + y + z = 100

5 x + 3 y + z /3 = 100

Oczywiście dopuszczalne są tylko nieujemne wartości całkowite. Wyrażając y i z w postaci x , otrzymujemy

y = 25 - (7/4) x

z = 75 + (3/4) x

Ponieważ x , yiz wszystkie muszą być liczbami całkowitymi, wyrażenie dla y sugeruje, że x musi być wielokrotnością 4. Zatem ogólne rozwiązanie układu równań można wyrazić za pomocą parametru całkowitego t w następujący sposób:

x = 4 t

y = 25 - 7 t

z = 75 + 3 t

Ponieważ y powinno być nieujemną liczbą całkowitą, jedynymi możliwymi wartościami t są 0, 1, 2 i 3. Zatem pełny zestaw rozwiązań jest określony wzorem

( x , y , z ) = (0,25,75), (4,18,78), (8,11,81), (12,4,84).

z których ostatnie trzy zostały podane w Zhang Qiujian suanjing . Nie wskazano jednak ogólnej metody rozwiązywania takich problemów, co prowadzi do podejrzeń, czy rozwiązania nie zostały uzyskane metodą prób i błędów.

Problem stu kurcząt znaleziony w Zhang Qiujian suanjing jest szczególnym przypadkiem ogólnego problemu znajdowania rozwiązań całkowitoliczbowych następującego układu równań:

x + y + z = re

ax + przez + cz = re

Każdy problem tego typu jest czasami nazywany „problemem stu ptactwa”.

Wariacje

Niektóre warianty problemu stu kurcząt pojawiły się w literaturze matematycznej kilku kultur. Poniżej przedstawiamy kilka przykładowych problemów omawianych w tych kulturach.

matematyka indyjska

Ganita -sara-sangraha Mahaviry zawiera następujący problem:

Gołębie są sprzedawane po cenie 5 za 3, ptaki sarasa po cenie 7 za 5, łabędzie po cenie 9 za 7, a pawie po cenie 3 za 9 ( pana s ) . Pewien człowiek miał przywieźć 100 ptaków za 100 pana . Ile daje za każdy z różnych rodzajów ptaków, które kupuje?

Rękopis Bakshali podaje problem rozwiązania następujących równań:

x + y + z = 20

3 x + (3/2) y + (1/2) z = 20

Średniowieczna Europa

Angielski matematyk Alcuin z Yorku (VIII w., ok. 735-19 maja 804 r. n.e.) w swoich Propositiones ad acuendos iuvenes przedstawił siedem problemów podobnych do problemu stu kur . Oto typowy problem:

Jeśli 100 buszli zboża zostanie rozdzielonych między 100 osób w taki sposób, że każdy mężczyzna otrzyma 3 buszle, każda kobieta 2 buszle, a każde dziecko pół korca, to ilu będzie mężczyzn, kobiet i dzieci?

matematyka arabska

Abu Kamil (850 - 930 n.e.) rozważał nieujemne całkowitoliczbowe rozwiązania następujących równań:

x + y + z = 100

3 x + (/20) y + (1/3) z = 100.