Produkt Pontryagina

W matematyce iloczyn Pontryagina , wprowadzony przez Lwa Pontryagina ( 1939 ), jest iloczynem homologii przestrzeni topologicznej indukowanej przez iloczyn w przestrzeni topologicznej. Szczególne przypadki obejmują iloczyn Pontryagina na homologii grupy abelowej , iloczyn Pontryagina na przestrzeni H i iloczyn Pontryagina na przestrzeni pętli .

Produkt krzyżowy

Aby zdefiniować iloczyn Pontryagina, potrzebujemy najpierw mapy, która przesyła iloczyn bezpośredni m-tej i n-tej grupy homologii do (m+n)-tej grupy homologii przestrzeni. Dlatego definiujemy iloczyn krzyżowy, zaczynając od poziomu pojedynczych łańcuchów. dwie $} \to Y}$$g$ { możemy zdefiniować mapę produktu ${\ Displaystyle f \ razy g: \ Delta ^ {m} \ razy \ Delta ^ {n} \ do X \ razy Y}$ , jedyną trudnością jest pokazanie, że definiuje to liczbę pojedynczą ( m + n) -simpleks w . ${\ displaystyle X \ razy Y}$ . $-proste$ można podzielić (m + n Łatwo wtedy pokazać, że mapa ta indukuje mapę homologii formy

${\ Displaystyle H_ {m} (X; R) \ czasami H_ {n} (Y; R) \to H_{m+n}(X\razy Y;R)}$

udowadniając, że jeśli $displaystyle$$\$ cyklami , $}$ tak jeśli albo $jest$$f$ granica, to taki jest produkt.

Definicja

Biorąc pod uwagę $}$ H $definiujemy$ mnożeniem, Pontryagina na homologii poprzez następujący skład map.

${\ Displaystyle H_ {*} (X; R) \ otimes H_{*}(X;R){\xrightarrow[{}]{\times }}H_{*}(X\times X;R){\xrightarrow[{}]{\mu _{*}}}H_ {*}(X;R)}$

gdzie pierwsze odwzorowanie jest iloczynem krzyżowym zdefiniowanym powyżej, a drugie odwzorowanie jest określone przez pomnożenie przestrzeni H, po którym następuje zastosowanie funktora homologii w celu uzyskania ${\ displaystyle X \ razy X \ do X}$ homomorfizm na poziomie homologii. Wtedy ${\ Displaystyle H_ {*} (X; R) = \ bigoplus _ {n = 0} ^ {\ infty} H_ {n} (X; R)}$ .

•    Brown, Kenneth S. (1982). Kohomologia grup . Teksty magisterskie z matematyki . Tom. 87. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90688-1 . MR 0672956 .
•   Pontriagin, Lew (1939). „Homologie w zwartych grupach Liego”. Recueil Mathématique (Matematicheskii Sbornik) . Nowa seria. 6 (48): 389–422. MR 0001563 .
•   Wylęgacz, wylęgacz (2001). Topologia algebraiczna . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79160-1 .