Przestrzeń Loeba

W matematyce przestrzeń Loeba jest rodzajem przestrzeni miar wprowadzonej przez Loeba ( 1975 ) przy użyciu analizy niestandardowej .

Budowa

Konstrukcja Loeba zaczyna się od $mapy$$addytywnej$ od wewnętrznej algebry zbiorów do niestandardowych liczb . Zdefiniuj $, która$ ma być podana przez część standardową ${$ tak aby była skończenie addytywną mapą z $}$$\ displaystyle {\ mathcal {A}}$$\ displaystyle \ mu }$ do rozszerzonych liczb rzeczywistych ${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbb {R}}}}$ . Nawet jeśli $jest$$algebrą$ niestandardową , algebra nie musi być zwykłą $\sigma }$$A}}}$ { $\ Displaystyle$ -algebra, ponieważ zwykle nie jest zamknięta w przeliczalnych związkach. Zamiast tego algebra $, że jeśli zbiór w niej$ sumą policzalnej rodziny elementów ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ , to zbiór jest połączeniem skończonej liczby elementów rodziny, a więc w szczególności dowolnej skończenie addytywnej mapy (takiej jak ) z ${\ displaystyle {\ mathcal {$$}}} displaystyle {\ mathcal {A}}}$ do rozszerzonych liczb rzeczywistych jest automatycznie policzalnie addytywne. Zdefiniuj jako $\ displaystyle {\ mathcal {M$ wygenerowaną przez ${$$}}$ . Następnie przez twierdzenie o rozszerzeniu Carathéodory'ego miara $\ mu}$$.$$Displaystyle$ on rozciąga się na policzalnie addytywną miarę na zwaną miarą Loeba

•    Cutland, Nigel J. (2000), Loeb mierzy w praktyce: ostatnie postępy , Lecture Notes in Mathematics, tom. 1751, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/b76881 , ISBN 978-3-540-41384-4 , MR 1810844
•    Goldblatt, Robert (1998), Wykłady o hiperrzeczywistościach , Graduate Texts in Mathematics, tom. 188, Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0615-6 , ISBN 978-0-387-98464-3 , MR 1643950
•     Loeb, Peter A. (1975). „Konwersja z niestandardowych do standardowych przestrzeni miar i zastosowań w teorii prawdopodobieństwa” . Transakcje Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 211 : 113–22. doi : 10.2307/1997222 . ISSN 0002-9947 . JSTOR 1997222 . MR 0390154 – przez JSTOR .

Linki zewnętrzne

• Strona domowa Petera Loeba