Przypuszczenie Bombieri-Langa

W geometrii arytmetycznej hipoteza Bombieriego -Langa jest nierozwiązanym problemem, który wymyślili Enrico Bombieri i Serge Lang , dotyczący gęstości Zariskiego zbioru punktów wymiernych algebraicznej odmiany typu ogólnego .

Oświadczenie

Słaba hipoteza Bombieri-Langa dotycząca powierzchni stwierdza, że ​​​​jeśli $jest$ gładką powierzchnią ogólnego typu $zdefiniowaną$$\displaystyle X}$ polu liczbowym $displaystyle$ to -racjonalne punkty $k}$ nie tworzą gęstego zbioru w topologii Zariskiego na $X$ .

Ogólna postać hipotezy Bombieri-Langa stwierdza, że ​​​​jeśli $displaystyle$ dodatnio-wymiarową rozmaitością algebraiczną typu ogólnego zdefiniowaną w polu liczbowym , to $k$$}$ -racjonalny punkty nie tworzą gęstego zbioru w topologii $Zariskiego$

Wyrafinowana forma hipotezy Bombieri-Langa stwierdza, że ​​​​jeśli $jest$ algebraiczną rozmaitością typu ogólnego zdefiniowaną w polu liczbowym $,$ istnieje gęsty $.$ z $displaystyle X}$$k}$ tak, że dla wszystkich rozszerzeń pól liczbowych nad ${\ displaystyle$ zbiór ${\ displaystyle k'}$ punktów w ${\ displaystyle U }$ jest skończony.

Historia

Przypuszczenie Bombieri-Langa zostało niezależnie postawione przez Enrico Bombieri i Serge'a Langa. W wykładzie z 1980 roku na Uniwersytecie w Chicago Enrico Bombieri postawił problem dotyczący degeneracji punktów wymiernych dla powierzchni typu ogólnego. Niezależnie w serii artykułów rozpoczynających się w 1971 r. Serge Lang przypuszczał bardziej ogólną zależność między rozkładem punktów wymiernych a algebraiczną hiperbolicznością , sformułowaną w „wyrafinowanej formie” hipotezy Bombieri-Langa.

Uogólnienia i implikacje

Hipoteza Bombieri-Langa jest odpowiednikiem powierzchni twierdzenia Faltingsa , które stwierdza, że ​​​​krzywe algebraiczne rodzaju większego niż jeden mają tylko skończenie wiele punktów wymiernych.

Jeśli to prawda, hipoteza Bombieri-Langa rozwiązałaby problem Erdősa-Ulama , ponieważ oznaczałaby, że nie istnieją gęste podzbiory płaszczyzny euklidesowej, których wszystkie odległości parami są racjonalne.

W 1997 roku Lucia Caporaso , Barry Mazur , Joe Harris i Patricia Pacelli wykazali, że hipoteza Bombieriego-Langa implikuje hipotezę o jednolitej ograniczoności dla punktów wymiernych : istnieje stała zależność ${\ Displaystyle B_ {g, d}}$ tylko na $}$ tak , że $X$ wymiernych punktów dowolnej krzywej rodzaju ${\ displaystyle$$}$ na dowolnym stopniu pola liczbowego wynosi $\ displaystyle g$ co najwyżej ${\ Displaystyle B_ {g, d}}$ .