Hipoteza o jednostajnej ograniczoności dla punktów wymiernych

W geometrii arytmetycznej hipoteza jednolitej ${\ Displaystyle g \ geq 2$ dla punktów wymiernych zakłada, że dla danego pola liczbowego $sol$ dodatniej liczby całkowitej istnieje liczba ${\ Displaystyle N (K, g)}$ zależny tylko od ${\ Displaystyle K}$ i ${\ Displaystyle g}$ tak, że dla dowolnej krzywej algebraicznej ${\ Displaystyle C}$ zdefiniowany przez mający rodzaj równy ${\ Displaystyle g$ $}$ ma co najwyżej ${\ Displaystyle N (K, g)}$ $K}$ - racjonalny punkty . Jest to udoskonalenie $\ Displaystyle C (K)}$ Faltingsa , które , że zbiór -racjonalnych punktów do $)$ jest koniecznie skończony.

Postęp

Pierwszy znaczący postęp w kierunku hipotezy nastąpił dzięki Caporaso , Harrisowi i Mazurowi . Udowodnili, że przypuszczenie to zachodzi, jeśli przyjmie się przypuszczenie Bombieri-Langa .

Hipoteza Mazura B

Wariant przypuszczenia, ze względu na Mazura, twierdzi, że powinna istnieć taka liczba, że dla dowolnej zdefiniowanej krzywej algebraicznej ${$ $\ Displaystyle N (K, g, r)}$ nad mającym rodzaj ${$ którego jakobian odmiana ma rangę Mordella-Weila nad $displaystyle K}$ $sol {\$ displaystyle $K}$ $r}$ $displaystyle$ liczba -racjonalnych punktów z jest co najwyżej $N (K, g, r)$ $Displaystyle$ . Ten wariant hipotezy jest znany jako hipoteza B Mazura .

Michael Stoll udowodnił, że hipoteza Mazura B zachodzi dla krzywych hipereliptycznych z dodatkową hipotezą, że ${\ displaystyle r \ leq g-3}$ . Wynik Stolla został dodatkowo dopracowany przez Katza , Rabinoffa i Zureicka-Browna w 2015 roku. Obie te prace opierają się na metodzie Chabauty'ego .

Hipoteza Mazura B została rozwiązana przez Dimitrova, Gao i Habeggera w przeddruku w 2020 roku, który od tego czasu pojawił się w Annals of Mathematics przy użyciu wcześniejszej pracy Gao i Habeggera na temat geometrycznej hipotezy Bogomołowa zamiast metody Chabauty'ego.