Przypuszczenie Dysona

Freemana Dysona w 2005 roku

  W matematyce hipoteza Dysona ( Freeman Dyson 1962 ) jest hipotezą o stałym wyrazie pewnych wielomianów Laurenta , udowodnioną niezależnie w 1962 roku przez Wilsona i Gunsona. Andrews uogólnił to do hipotezy q-Dysona , udowodnionej przez Zeilbergera i Bressouda i czasami nazywanej twierdzeniem Zeilbergera-Bressouda . Macdonald uogólnił to dalej na bardziej ogólne systemy korzeni z hipotezą stałego wyrazu Macdonalda , udowodnioną przez Cherednika .

Przypuszczenie Dysona

Hipoteza Dysona mówi, że wielomian Laurenta

$\ Displaystyle \ prod _ {1 \ równoważnik i \ neq j \ równoważnik n} (1-t_ {i} / t_ {j}) ^{a_{i}}}$

ma stałą kadencję

${\ Displaystyle {\ Frac {(a_ {1}+ a_ {2} + \ cdots + a_ {n})!} {a_ {1}! a_ {2}! \ cdots a_ {n}!}}.}$

Przypuszczenie to zostało po raz pierwszy udowodnione niezależnie przez Wilsona (1962) i Gunsona (1962) . Good (1970) później znalazł krótki dowód, obserwując, że wielomiany Laurenta, a zatem ich stałe wyrazy, spełniają relacje rekurencji

${\ Displaystyle F (a_ {1}, \ kropki, a_ {n}) = \ suma _ {i = 1} ^ {n} F (a_ {1}, \ kropki, a_ {i} -1, \ kropki ,jakiś}).}$

Przypadek n = 3 hipotezy Dysona wynika z tożsamości Dixona .

Sills i Zeilberger (2006) oraz ( Sills 2006 ) użyli komputera do znalezienia wyrażeń dla niestałych współczynników wielomianu Dysona Laurenta.

Całka Dysona

Gdy wszystkie wartości a _i są równe β/2, stałym wyrazem w hipotezie Dysona jest wartość całki Dysona

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {(2 \ pi) ^ {n}}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ cdots \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ prod _ {1\równoważnik j<k\równoważnik n}|e^{i\theta _{j}}-e^{i\theta _{k}}|^{\beta }\,d\theta _{1} \cdots d\theta _{n}.}$

Całka Dysona jest szczególnym przypadkiem całki Selberga po zmianie zmiennej i ma wartość

${\ Displaystyle {\ Frac {\ Gamma (1 + \ beta n/2)} {\ Gamma (1 + \ beta / 2) ^ { N}}}}$

co daje kolejny dowód hipotezy Dysona w tym szczególnym przypadku.

q - hipoteza Dysona

Andrews (1975) znalazł q-analog hipotezy Dysona, stwierdzając, że stały wyraz

${\ Displaystyle \ prod _ {1 \ równoważnik i <j \ równoważnik n} \ lewo ({{ \frac {x_{i}}{x_{j}}};q\right)_{a_{i}}\left({\frac {qx_{j}}{x_{i}}};q\right )_{a_{j}}}$

Jest

${\ Displaystyle {\ Frac {(q; q) _ {a_ {1} + \ cdots + a_ {n}}} {(q; q) _ {a_ {1}} \ cdots (q; q) _ { jakiś}}}}.}$

Tutaj ( a ; q ) _n jest symbolem q-Pochhammera . Ta hipoteza sprowadza się do hipotezy Dysona dla q = 1 i została udowodniona przez Zeilbergera i Bressouda (1985) , stosując podejście kombinatoryczne zainspirowane wcześniejszymi pracami Iry Gessela i Dominique Foata . Krótszy dowód, wykorzystujący formalne serie Laurenta, został podany w 2004 roku przez Irę Gessela i Guoce Xina, a jeszcze krótszy dowód, w postaci ilościowej, ze względu na Karaseva i Petrova oraz niezależnie od Lasona, Combinatorial Nullstellensatz Nogi Alona, ​​został podany w 2012 roku przez Gyulę Karolyi i Zoltana Loranta Nagya. Ta ostatnia metoda została rozszerzona w 2013 r. przez Shalosha B. Ekhada i Dorona Zeilbergera w celu uzyskania wyraźnych wyrażeń dowolnego określonego współczynnika, a nie tylko stałego składnika, patrz http://www.math.rutgers.edu/~zeilberg/mamarim/ mamarimhtml/qdyson.html , aby uzyskać szczegółowe informacje.

Domysły Macdonalda

Macdonald (1982) rozszerzył tę hipotezę na dowolne skończone lub afiniczne systemy korzeniowe , przy czym oryginalne przypuszczenie Dysona odpowiadało przypadkowi systemu korzeniowego An _{- 1} , a przypuszczenie Andrewsa odpowiadało afinicznemu systemowi korzeniowemu An _{- 1 .} Macdonald przeformułował te przypuszczenia jako przypuszczenia dotyczące norm wielomianów Macdonalda . Przypuszczenia Macdonalda zostały udowodnione przez ( Cherednik 1995 ) przy użyciu podwójnie afinicznych algebr Heckego.

Macdonalda hipotezy Dysona dla systemów korzeniowych typu BC jest ściśle związana z całką Selberga .

•   Andrews, George E. (1975), „Problemy i perspektywy podstawowych funkcji hipergeometrycznych”, Teoria i zastosowanie funkcji specjalnych (Proc. Advanced Sem., Math. Res. Center, Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1975) , Boston, MA: Academic Press , s. 191–224, MR 0399528
•   Cherednik, I. (1995), "Double Affine Hecke Algebras and Macdonald's Conjectures", The Annals of Mathematics , 141 (1): 191–216, doi : 10,2307/2118632 , JSTOR 2118632
•    Dyson, Freeman J. (1962), „Statystyczna teoria poziomów energetycznych systemów złożonych. I”, Journal of Mathematical Physics , 3 (1): 140–156, Bibcode : 1962JMP.....3..140D , doi : 10.1063/1.1703773 , ISSN 0022-2488 , MR 0143556
•    Good, IJ (1970), „Krótki dowód hipotezy Dysona”, Journal of Mathematical Physics , 11 (6): 1884, Bibcode : 1970JMP....11.1884G , doi : 10.1063/1.1665339 , ISSN 0022-2488 , MR 0258644
•    Gunson, J. (1962), „Dowód hipotezy Dysona w statystycznej teorii poziomów energii”, Journal of Mathematical Physics , 3 (4): 752–753, Bibcode : 1962JMP.....3..752G , doi : 10.1063/1.1724277 , ISSN 0022-2488 , MR 0148401
•    Macdonald, IG (1982), „Niektóre przypuszczenia dotyczące systemów korzeniowych”, SIAM Journal on Mathematical Analysis , 13 (6): 988–1007, doi : 10.1137/0513070 , ISSN 0036-1410 , MR 0674768
•     Parapety, Andrew V. (2006), „Zakłócanie przypuszczenia Dysona, w ogólnie DOBRY sposób”, Journal of Combinatorial Theory, Seria A , 113 (7): 1368–1380, arXiv : 1812.05557 , doi : 10.1016/j.jcta .2005.12.005 , ISSN 1096-0899 , MR 2259066 , S2CID 1565705
•     Parapety, Andrzej V.; Zeilberger, Doron (2006), „Zakłócanie hipotezy Dysona (w DOBRY sposób)” , Experimental Mathematics , 15 (2): 187–191, arXiv : 1812.04490 , doi : 10.1080/10586458.2006.10128959 , ISSN 1058- 6458 , MR 2253005 , S2CID 14594152
•    Wilson, Kenneth G. (1962), „Dowód hipotezy Dysona”, Journal of Mathematical Physics , 3 (5): 1040–1043, Bibcode : 1962JMP.....3.1040W , doi : 10.1063/1.1724291 , ISSN 0022-2488 , MR 0144627
•    Zeilberger, Doron ; Bressoud, David M. (1985), „Dowód hipotezy q-Dysona Andrewsa”, Discrete Mathematics , 54 (2): 201–224, doi : 10.1016 / 0012-365X (85) 90081-0 , ISSN 0012- 365X , MR 0791661