Przypuszczenie Köthe'go

W matematyce hipoteza Köthe jest problemem w teorii pierścieni , otwartym od 2022 r. Jest formułowana na różne sposoby. Załóżmy, że R jest pierścieniem . Jednym ze sposobów sformułowania hipotezy jest to, że jeśli R nie ma ideału zerowego innego niż {0}, to nie ma ideału jednostronnego zerowego innego niż {0}.

Pytanie to postawił w 1930 r. Gottfried Köthe (1905–1989). Wykazano, że hipoteza Köthe jest prawdziwa dla różnych klas pierścieni, takich jak wielomianowe pierścienie tożsamości i prawe pierścienie Noethera , ale ogólne rozwiązanie pozostaje nieuchwytne.

Równoważne preparaty

Przypuszczenie ma kilka różnych sformułowań:

(Przypuszczenie Köthe) W każdym pierścieniu suma dwóch zerowych lewych ideałów jest równa zeru.
W każdym pierścieniu suma dwóch jednostronnych ideałów zerowych jest równa zeru.
W każdym pierścieniu każdy lewy lub prawy idealny ideał pierścienia jest zawarty w górnym rodniku zerowym pierścienia.
Dla dowolnego pierścienia R i dla dowolnego ideału zerowego J z R , ideał macierzowy Mn ₍ J ) jest ideałem zerowym Mn ₍ R ) dla każdego n .
Dla dowolnego pierścienia R i dla dowolnego ideału zerowego J z R , ideał macierzowy M ₂ ( J ) jest ideałem zerowym z M ₂ ( R ).
Dla dowolnego pierścienia R górny rodnik nilowy Mn ₍ R ) jest zbiorem macierzy z wpisami z górnego rodnika nilowego R dla każdej dodatniej liczby całkowitej n .
Dla dowolnego pierścienia R i dla dowolnego zerowego ideału J z R , wielomiany o nieokreślonym x i współczynnikach z J leżą w rodniku Jacobsona pierścienia wielomianu R [ x ].
Dla dowolnego pierścienia R rodnik Jacobsona R [ x ] składa się z wielomianów o współczynnikach z górnego nilrodnika R .

Powiązane problemy

Przypuszczenie Amitsura brzmiało: „Jeśli J jest ideałem zerowym w R , to J [ x ] jest ideałem zerowym pierścienia wielomianu R [ x ]”. Ta hipoteza, gdyby była prawdziwa, potwierdziłaby hipotezę Köthe poprzez równoważne powyższe stwierdzenia, jednak kontrprzykład przedstawiła Agata Smoktunowicz . Chociaż nie było to obalenie hipotezy Köthe, podsyciło to podejrzenia, że hipoteza Köthe może być fałszywa.

W ( Kegel 1962 ) udowodniono, że pierścień będący bezpośrednią sumą dwóch nilpotentnych podpierścieni sam w sobie jest nilpotentny. Powstało pytanie, czy „nilpotent” można zastąpić „lokalnie nilpotentnym” lub „zerowym”. Poczyniono częściowe postępy, gdy Kelarev stworzył przykład pierścienia, który nie jest zerowy, ale jest bezpośrednią sumą dwóch lokalnie nilpotentnych pierścieni. To pokazuje, że na pytanie Kegla, w którym „lokalnie nilpotentny” zastępuje „nilpotentny”, odpowiedź jest negatywna.

Suma podpierścienia nilpotentnego i podpierścienia zerowego jest zawsze równa zeru.

Köthe, Gottfried (1930), "Die Struktur der Ringe, deren Restklassenring nach dem Radikal vollständig reduzibel ist", Mathematische Zeitschrift , 32 (1): 161–186, doi : 10.1007/BF01194626 , S2CID 123292297

Linki zewnętrzne