punkt de Longchampsa

Punkt de Longchampsa L trójkąta △ ABC , utworzony jako odbicie ortocentrum H wokół środka okręgu opisanego O lub jako ortocentrum antykomplementarnego trójkąta △ A'B'C'

W geometrii punkt de Longchampsa trójkąta to środek trójkąta nazwany na cześć francuskiego matematyka Gastona Alberta Gohierre'a de Longchampsa . Jest to odbicie ortocentrum trójkąta wokół środka okręgu opisanego .

Definicja

Niech dany trójkąt ma wierzchołki przeciwległe do odpowiednich boków , ${\ displaystyle b}$$i$ do $a}$$displaystyle$ , ${\ displaystyle b}$ i do $} displaystyle c}$ , podobnie jak standardowa notacja w geometrii trójkąta. W artykule z 1886 roku, w $\ Delta _ {a}}$ wprowadził ten punkt, de Longchamps początkowo zdefiniował go jako środek koła prostopadłego do trzech okręgów $Displaystyle$ , $}}$${ \ Displaystyle$$gdzie$$_ {$${\ Displaystyle \ Delta _ {c}}$ i $\displaystyle a},$ jest wyśrodkowany w promieniu ${$ a pozostałe dwa okręgi są zdefiniowane symetrycznie. Następnie De Longchamps wykazał również, że ten sam punkt, obecnie znany jako punkt de Longchampsa, może być równoważnie $\ displaystyle ABC}$ jako ortocentrum antykomplementarnego trójkąta A { i że jest odbiciem ortocentrum ${\ displaystyle ABC}$ wokół środka okręgu.

Koło Steinera trójkąta jest koncentryczne z dziewięciopunktowym kołem i ma promień 3/2 promienia opisanego na trójkącie; punkt de Longchampsa jest homotetycznym środkiem koła Steinera i okręgu opisanego.

Dodatkowe właściwości

Jako odbicie ortocentrum wokół środka okręgu opisanego, punkt de Longchampsa należy do prostej przechodzącej przez oba te punkty, która jest linią Eulera danego trójkąta. Zatem jest współliniowy ze wszystkimi innymi środkami trójkąta na linii Eulera, które wraz z ortocentrum i środkiem okręgu opisanego obejmują środek ciężkości i środek dziewięciopunktowego okręgu .

Punkt de Longchamp jest również współliniowy, wzdłuż innej linii, ze środkiem i punktem Gergonne jego trójkąta. Trzy okręgi wyśrodkowane w $displaystyle$ i promieniach $displaystyle sa$ - $}$$}$$,$ s $jest$ i (gdzie $)$ półobwodem są wzajemnie styczne i są jeszcze dwa okręgi styczne do wszystkich trzech z nich, wewnętrzny i zewnętrzny okrąg Soddy'ego ; środki tych dwóch okręgów również leżą na tej samej linii z punktem de Longchampa i środkiem. Punkt de Longchampa jest punktem zbieżności tej linii z linią Eulera i trzema innymi liniami zdefiniowanymi w podobny sposób jak linia przechodząca przez środek, ale zamiast tego przy użyciu trzech mimośrodów trójkąta .

Sześcienny Darboux $displaystyle X$ jako miejsce punktów takie , że izogonalny $koniugat$ i punkt de Longchampsa są współliniowe { $}$ . Jest to jedyny niezmiennik sześciennej krzywej trójkąta, który jest zarówno izogonalnie samosprzężony, jak i centralnie symetryczny; jego środek symetrii jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie. Sam punkt de Longchampsa leży na tej krzywej, podobnie jak jego odbicie w ortocentrum.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „de Longchamps Point” . MathWorld .