Dziewięciopunktowe koło

Dziewięć punktów

Boki trójkąta

Segmenty linii prostopadłe do bocznych punktów środkowych (zbiegają się w środku okręgu opisanego )

Dziewięciopunktowy okrąg (wyśrodkowany w środku dziewięciu punktów )

Zauważ, że konstrukcja nadal działa, nawet jeśli ortocentrum i środek okręgu opisanego wypadają poza trójkąt.

W geometrii dziewięciopunktowy okrąg to okrąg , który można zbudować dla dowolnego trójkąta . Jest tak nazwany, ponieważ przechodzi przez dziewięć znaczących punktów koncyklicznych określonych na podstawie trójkąta. Te dziewięć punktów to:

Środek każdego boku trójkąta
Stopa każdej wysokości _
Punkt środkowy odcinka linii od każdego wierzchołka trójkąta do ortocentrum (gdzie spotykają się trzy wysokości; te odcinki linii leżą na odpowiednich wysokościach).

Koło dziewięciopunktowe jest również znane jako koło Feuerbacha (od Karla Wilhelma Feuerbacha ), koło Eulera (od Leonharda Eulera ), koło Terquema (od Olry'ego Terquema ), koło sześciu punktów , koło dwunastu punktów , $n$ -punkt koło , koło przecięte , koło środkowe lub koło środkowe . Jego centrum to dziewięciopunktowe centrum trójkąta.

Dziewięć ważnych punktów

Powyższy diagram pokazuje dziewięć znaczących punktów dziewięciopunktowego koła. Punkty $D, E, F$ są środkami trzech boków trójkąta. Punkty $G, H, I$ to stopy wysokości trójkąta. Punkty $J, K, L$ to punkty środkowe odcinków linii między przecięciami wierzchołków każdej wysokości (punkty $A, B, C$ ) i ortocentrum trójkąta (punkt $S$ ).

W przypadku trójkąta ostrego sześć punktów (środki i stopy wysokości) leży na samym trójkącie; dla trójkąta rozwartokątnego dwie wysokości mają stopy poza trójkątem, ale te stopy nadal należą do dziewięciopunktowego koła.

Odkrycie

Chociaż przypisuje się mu jego odkrycie, Karl Wilhelm Feuerbach nie odkrył całkowicie dziewięcioramiennego koła, ale raczej sześcioramienne koło, uznając znaczenie punktów środkowych trzech boków trójkąta i stóp wysokości tego trójkąta trójkąt. ( Patrz ryc. 1, punkty $D, E, F, G, H, I.$ ) (Nieco wcześniej Charles Brianchon i Jean-Victor Poncelet stwierdzili i udowodnili to samo twierdzenie). Ale wkrótce po Feuerbachu matematyk Olry Terquem sam udowodnił istnienie koła. Jako pierwszy dostrzegł dodatkowe znaczenie trzech punktów środkowych między wierzchołkami trójkąta a ortocentrum. ( Patrz ryc. 1, punkty $J, K, L.$ ) W ten sposób Terquem jako pierwszy użył nazwy dziewięciopunktowego koła.

Okręgi styczne

Dziewięciopunktowy okrąg jest styczny do okręgu i okręgu

W 1822 roku Karl Feuerbach odkrył, że dziewięciopunktowy okrąg dowolnego trójkąta jest styczny zewnętrznie do trzech okręgów tego trójkąta i wewnętrznie styczny do okręgu wpisanego w ten trójkąt ; wynik ten jest znany jako twierdzenie Feuerbacha . Udowodnił, że:

... okrąg, który przechodzi przez stopy wysokości trójkąta, jest styczny do wszystkich czterech okręgów, które z kolei są styczne do trzech boków trójkąta ...

( Feuerbach 1822 )

Środek trójkąta , w którym stykają się okrąg wpisany i dziewięciopunktowy, nazywamy punktem Feuerbacha .

Inne właściwości dziewięciopunktowego koła

Promień okręgu opisanego na trójkącie jest dwa razy większy od promienia dziewięciopunktowego okręgu tego trójkąta.

Rysunek 3

Dziewięciopunktowy okrąg przecina na pół odcinek linii biegnący od odpowiedniego ortocentrum odpowiedniego trójkąta do dowolnego punktu na jego okręgu opisanym.

Rysunek 4

Środek $N$ dziewięciopunktowego okręgu przecina odcinek od ortocentrum $H$ do środka okręgu opisanego na okręgu $O$ (czyniąc ortocentrum środkiem rozszerzenia obu okręgów):

{\ Displaystyle {\ overline {ON}} = {\ overline {NH}}.}

Dziewięciopunktowy środek $N$ to jedna czwarta drogi wzdłuż linii Eulera od środka ciężkości $G$ do ortocentrum $H$ :

{\ displaystyle {\ overline {HN}} = 3 {\ overline {NG}}.}

Niech $ω$ będzie dziewięciopunktowym kołem ukośnego trójkąta cyklicznego czworoboku . Punkt przecięcia bimedian cyklicznego czworoboku należy do dziewięciopunktowego koła.

ABCD

jest cyklicznym czworobokiem.

△ EFG

to przekątna trójkąta

ABCD

. Punkt

T

przecięcia dwuśrodkowych

ABCD

należy do dziewięciopunktowego okręgu

△ EFG

.

Dziewięciopunktowy okrąg trójkąta odniesienia jest okręgiem opisanym zarówno na środkowym trójkącie trójkąta odniesienia (z wierzchołkami w środkach boków trójkąta odniesienia), jak i na jego ortycznym trójkącie (z wierzchołkami u stóp wysokości trójkąta odniesienia).
Środek wszystkich prostokątnych hiperboli przechodzących przez wierzchołki trójkąta leży na jego dziewięciopunktowym okręgu. Przykładami są dobrze znane prostokątne hiperbole Keiperta , Jeřábeka i Feuerbacha. Fakt ten jest znany jako twierdzenie stożkowe Feuerbacha.

Dziewięciopunktowy okrąg i 16 stycznych okręgów układu ortocentrycznego

Jeśli dany jest ortocentryczny układ czterech punktów $A, B, C, H$ , to wszystkie cztery trójkąty utworzone przez dowolną kombinację trzech różnych punktów tego układu mają ten sam dziewięciopunktowy okrąg. Jest to konsekwencja symetrii: boki jednego trójkąta sąsiadujące z wierzchołkiem, który jest ortocentrum innego trójkąta, są odcinkami tego drugiego trójkąta. Trzeci punkt środkowy leży po ich wspólnej stronie. (Te same „punkty środkowe” definiujące oddzielne dziewięciopunktowe okręgi, okręgi te muszą być współbieżne.)
W konsekwencji te cztery trójkąty mają okręgi opisane na identycznych promieniach. Niech $N$ reprezentuje wspólny środek dziewięciu punktów, a $P$ będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie układu ortocentrycznego. Następnie

{\ Displaystyle {\ overline {NA}} ^ {2} + {\ overline {NB}} ^ {2} + {\overline {NC}}^{2}+{\overline {NH}}^{2}=3R^{2}}

gdzie

R

jest wspólnym promieniem okręgu ; a jeśli

{\ Displaystyle {\ overline {PA}} ^ {2} + {\ overline {PB}} ^ {2} + {\ overline {PC}} ^ {2} + { \overline {PH}}^{2}=K^{2},}

gdzie

K

jest stałe, to miejscem geometrycznym

P

jest okrąg o środku w

N

i promieniu

{\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} {\ sqrt {K ^ {2} -3R ^ {2}}}.}

Gdy

P

zbliża się do miejsca

N ,

P

dla odpowiedniej stałej

K

, załamuje się na

N

dziewięciopunktowym środku. Ponadto dziewięciopunktowy okrąg jest miejscem

P

takim, że

{\ Displaystyle {\ overline {PA}} ^ {2} + {\ overline {PB}} ^ {2} + {\ overline {PC}} ^ {2} + {\ overline {PH}} ^ {2} =4R^{2}.}

Środki okręgu i okręgów trójkąta tworzą układ ortocentryczny. Dziewięciopunktowy okrąg utworzony dla tego układu ortocentrycznego jest okręgiem opisanym na oryginalnym trójkącie. Stopy wysokości w układzie ortocentrycznym są wierzchołkami oryginalnego trójkąta.
Jeśli dane są cztery dowolne punkty $A, B, C, D$ , które nie tworzą układu ortocentrycznego, to dziewięciopunktowe okręgi $△ ABC, △ BCD, △ CDA, △ DAB$ zbiegają się w punkcie, punkcie Ponceleta $A, B, C, D$ . Pozostałe sześć punktów przecięcia tych dziewięciopunktowych okręgów pokrywa się ze środkami czterech trójkątów. Co ciekawe, istnieje unikalny dziewięciopunktowy stożek, wyśrodkowany w środku ciężkości tych czterech dowolnych punktów, który przechodzi przez wszystkie siedem punktów przecięcia tych dziewięciopunktowych okręgów. Ponadto, z powodu wspomnianego powyżej twierdzenia stożkowego Feuerbacha, istnieje unikalny prostokątny okrąg , wyśrodkowany we wspólnym punkcie przecięcia czterech dziewięciopunktowych okręgów, który przechodzi przez cztery pierwotne dowolne punkty, a także ortocentra czterech trójkątów.
dane są cztery punkty $A, B, C, D, które tworzą$ cykliczny czworobok , to dziewięciopunktowe okręgi $△ ABC, △ BCD, △ CDA, △ DAB$ zbiegają się w antycentrum cyklicznego czworoboku. Wszystkie dziewięciopunktowe okręgi są przystające do promienia równego połowie okręgu opisanego na cyklicznym czworoboku. Okręgi dziewięciopunktowe tworzą zestaw czterech okręgów Johnsona . W konsekwencji cztery dziewięciopunktowe centra są cykliczne i leżą na okręgu przystającym do czterech dziewięciopunktowych okręgów, którego środek znajduje się w antycentrum cyklicznego czworoboku. Ponadto cykliczny czworobok utworzony z czterech dziewięciopunktowych centrów jest homotetyczny względem cyklicznego czworoboku odniesienia $ABCD$ o współczynnik –½, a jego homotetyczny środek $N$ leży na linii łączącej środek okręgu opisanego $O$ z antycentrum $M ,$ gdzie

{\ Displaystyle {\ overline {ON}} = 2 {\ overline {NM}}.}

Ortobieg prostych przechodzących przez środek okręgu opisanego leży na dziewięciopunktowym okręgu.
Okrąg opisany na trójkącie, jego dziewięciopunktowy okrąg, jego koło biegunowe i okrąg opisany na jego trójkącie stycznym są współosiowe .
Trójliniowe współrzędne środka hiperboli Kieperta to

{\ Displaystyle {\ Frac {(b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}}{a}}:{\frac {(c^{2}-a^{2})^{2}}{b}}:{\frac {(a^{2}-b^{ 2})^{2}}{c}}}

Trójliniowe współrzędne środka hiperboli Jeřábeka to

{\ Displaystyle \ cos (A) \ sin ^ {2} (BC): \cos(B)\sin ^{2}(CA):\cos(C)\sin ^{2}(AB)}

Pozwalając $x : y : z$ być zmiennym punktem we współrzędnych trójliniowych, równanie dziewięciopunktowego koła to

{\ Displaystyle x ^ {2} \ sin 2A + y ^ {2} \ sin 2B + z ^ {2} \ sin 2C-2 (yz \ sin A + zx \ sin B + xy \ sin C) = 0. }

Uogólnienie

Okrąg jest przykładem przekroju stożkowego , a okrąg dziewięciopunktowy jest przykładem ogólnego stożka dziewięciopunktowego, który został skonstruowany w odniesieniu do trójkąta $△ ABC$ i czwartego punktu $P$ , gdzie określony przypadek dziewięciopunktowego koła powstaje, gdy $P$ jest ortocentrum $△ ABC$ . Wierzchołki trójkąta i $P$ wyznaczają pełny czworobok oraz trzy „punkty ukośne”, w których przecinają się przeciwległe boki czworoboku. W czworoboku jest sześć „linii bocznych”; dziewięciopunktowy stożek przecina ich punkty środkowe i obejmuje również punkty ukośne. Stożek jest elipsą , gdy $P$ znajduje się wewnątrz $△ ABC$ lub w obszarze dzielącym kąty pionowe z trójkątem, ale dziewięciopunktowa hiperbola występuje, gdy $P$ znajduje się w jednym z trzech sąsiednich obszarów, a hiperbola jest prostokątna, gdy P leży na okrąg opisany na $△ ABC$ .

Zobacz też

Koło Harta , pokrewna konstrukcja okrągłych trójkątów
Twierdzenie Lestera
Punkt Ponceleta
Geometria syntetyczna

Notatki

Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: Wprowadzenie do nowoczesnej geometrii trójkąta i koła (wyd. 2), New York: Barnes & Noble , LCCN 52013504
Feuerbach, Karol Wilhelm ; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (red. Monografia), Norymberga: Wiessner .
Kay, David C. (1969), College Geometry , Nowy Jork: Holt, Rinehart i Winston , LCCN 69012075
Fraivert, David (2019), „Nowe punkty należące do dziewięciopunktowego koła”, The Mathematical Gazette , 103 (557): 222–232, doi : 10.1017 / mag.2019.53 , S2CID 213935239
Fraivert, David (2018), „Nowe zastosowania metody liczb zespolonych w geometrii cyklicznych czworoboków” (PDF) , International Journal of Geometry , 7 (1): 5–16

Linki zewnętrzne

„Demonstracja JavaScript dziewięciopunktowego koła” na rykap.com
Encyklopedia centrów trójkątów autorstwa Clarka Kimberlinga. Środek dziewięciu punktów jest indeksowany jako X (5), punkt Feuerbacha jako X (11), środek hiperboli Kieperta jako X (115), a środek hiperboli Jeřábeka jako X (125).
Historia dziewięciopunktowego koła na podstawie artykułu JS MacKaya z 1892 roku: History of the Nine Point Circle
Weisstein, Eric W. „Krąg dziewięciopunktowy” . MathWorld .
Weisstein, Eric W. „Ortopole” . MathWorld .
Dziewięciopunktowy krąg w Javie w Cut-the-knot
Twierdzenie Feuerbacha: dowód przy przecięciu węzła
Specjalne linie i okręgi w trójkącie autorstwa Waltera Fendta
Interaktywny aplet okręgu z dziewięcioma punktami z projektu Wolfram Demonstrations
Uogólnienie dziewięciopunktowego stożka i linii Eulera w szkicach geometrii dynamicznej Uogólnia dziewięciopunktowy okrąg na dziewięciopunktowy stożek z powiązanym uogólnieniem linii Eulera.
NJ Wildberger. Chromogeometria. Omawia dziewięciopunktowy okrąg w odniesieniu do trzech różnych form kwadratowych (niebieski, czerwony, zielony).