Dziewięciopunktowe centrum

Trójkąt przedstawiający jego okrąg i środek okręgu opisanego (czarny), wysokości i ortocentrum (czerwony) oraz dziewięciopunktowy okrąg i dziewięciopunktowy środek (niebieski)

W geometrii środek dziewięciopunktowy to środek trójkąta , punkt zdefiniowany na podstawie danego trójkąta w sposób niezależny od położenia lub skali trójkąta. Nazywa się to tak, ponieważ jest środkiem dziewięciopunktowego koła , okręgu przechodzącego przez dziewięć znaczących punktów trójkąta: punkty środkowe trzech krawędzi, stopy trzech wysokości i punkty w połowie odległości między ortocentrum i każdy z trzech wierzchołków. Dziewięciopunktowy środek jest wymieniony jako punkt X(5) w Encyklopedii centrów trójkątów Clarka Kimberlinga .

Nieruchomości

Dziewięciopunktowy środek N leży na linii Eulera jego trójkąta, w punkcie środkowym między ortocentrum tego trójkąta H i środkiem okręgu opisanego na nim O . Środek ciężkości G leży również na tej samej linii, 2/3 drogi od ortocentrum do środka okręgu opisanego, więc

${\ Displaystyle | NIE | = | NH | = 3 | NG |.}$

Tak więc, jeśli znane są dowolne dwa z tych czterech środków trójkąta, można na ich podstawie określić położenie pozostałych dwóch.

Andrew Guinand udowodnił w 1984 roku, w ramach tego, co jest obecnie znane jako problem wyznaczania trójkątów Eulera , że jeśli pozycje tych środków są podane dla nieznanego trójkąta, to środek trójkąta leży w okręgu ortocentroidalnym (okrąg mający odcinek od środka ciężkości do ortocentrum jako jego średnica). Jedynym punktem wewnątrz tego okręgu, który nie może być środkiem, jest środek dziewięciopunktowy, a każdy inny punkt wewnętrzny koła jest środkiem unikalnego trójkąta.

Odległość od środka dziewięciopunktowego do środka I spełnia

$_ 2r)<{\frac {R}{2}},\\&2R\cdot |IN|=|OI|^{2},\end{wyrównane}}}$

gdzie R, r to odpowiednio promień okręgu i promień okręgu .

Dziewięciopunktowy środek to środek okręgu opisanego na środkowym trójkącie danego trójkąta, środek okręgu opisanego na ortycznym trójkącie danego trójkąta i środek okręgu opisanego na trójkącie Eulera. Mówiąc bardziej ogólnie, jest to środek okręgu opisanego na dowolnym trójkącie określonym na podstawie trzech z dziewięciu punktów definiujących dziewięciopunktowy okrąg.

Dziewięciopunktowe centrum leży w środku ciężkości czterech punktów: trzech wierzchołków trójkąta i jego ortocentrum .

Linie Eulera czterech trójkątów utworzonych przez układ ortocentryczny (zbiór czterech punktów, z których każdy jest ortocentrum trójkąta z wierzchołkami w pozostałych trzech punktach) są współbieżne w dziewięciopunktowym środku wspólnym dla wszystkich trójkątów.

Spośród dziewięciu punktów definiujących dziewięciopunktowy okrąg, trzy punkty środkowe odcinków linii między wierzchołkami a ortocentrum są odbiciami punktów środkowych trójkąta wokół jego dziewięciopunktowego środka. W ten sposób dziewięciopunktowe centrum tworzy środek odbicia punktowego , które odwzorowuje środkowy trójkąt na trójkąt Eulera i odwrotnie.

Zgodnie z twierdzeniem Lestera 9-punktowy środek leży na wspólnym okręgu z trzema innymi punktami: dwoma punktami Fermata i środkiem okręgu opisanego.

Punkt Kosnita trójkąta, środek trójkąta związany z twierdzeniem Kosnity , jest izogonalnym koniugatem dziewięciopunktowego środka.

Współrzędne trójliniowe dla dziewięciopunktowego środka to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} & \ cos (BC): \ cos (CA): \ cos (AB) \\& = \ cos A + 2 \ cos B \ cos C: \ cos B + 2 \ cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B\\&=\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\ sin A\sin B\\&=bc\left[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}\ prawo]:ca\lewo[b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}\prawo]:ab\lewo [c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}\right].\end{wyrównane}}}$

Współrzędne barycentryczne dziewięciopunktowego środka to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i a \ cos (BC): b \ cos (CA): c \ cos (AB) \\& = a ^ {2} (b ^ {2} + c ^ {2} )-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2 })^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2}.\end{wyrównane}} }$

Zatem wtedy i tylko wtedy, gdy dwa kąty wierzchołków różnią się od siebie o więcej niż 90 °, jedna ze współrzędnych barycentrycznych jest ujemna, a więc środek dziewięciu punktów znajduje się na zewnątrz trójkąta.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. , „Centrum dziewięciu punktów” , MathWorld