Okrągły i niekoniczny

W geometrii euklidesowej , okrężny to przekrój stożkowy , który przechodzi przez trzy wierzchołki trójkąta , a niestożkowy to przekrój stożkowy wpisany w boki, prawdopodobnie rozszerzone , trójkąta.

Załóżmy, że A, B, C są różnymi punktami niewspółliniowymi i niech △ ABC oznacza trójkąt, którego wierzchołkami są A, B, C . Zgodnie z powszechną praktyką A oznacza nie tylko wierzchołek, ale także kąt ∠ BAC w wierzchołku A , i podobnie dla B i C jako kąty w △ ABC . Niech ${\ Displaystyle a = | BC |, b = | CA |, c = | AB |,}$ długości boków △ ABC .

We współrzędnych trójliniowych ogólny okrąg okołostożkowy jest locus punktu zmiennego spełniającego równanie ${\ Displaystyle X = x: y: z}$

${\ Displaystyle uyz + vzx + wxy = 0,}$

dla pewnego punktu u : v : w . Izogonalny koniugat każdego punktu X na okręgu okołostożkowym, innego niż A, B, C , jest punktem na linii

${\ Displaystyle ux + vy + wz = 0.}$

Ta prosta przecina okrąg opisany na △ ABC w 0,1 lub 2 punktach, w zależności od tego, czy okrąg jest elipsą, parabolą czy hiperbolą.

Ogólna inkonika jest styczna do trzech linii bocznych △ ABC i jest dana równaniem

${\ Displaystyle u ^ {2} x ^ {2} + v ^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy=0.}$

Centra i linie styczne

okólnikowy

Punktem jest środek ogólnego okręgu okołostożkowego

${\ Displaystyle u (-au + bv + cw): v (au-bv + cw): w (au + bv-cw).}$

Linie styczne do ogólnego okręgu w wierzchołkach A, B, C to odpowiednio

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} wv + vz & = 0, \\ uz + wx & = 0, \\ vx + uy & =0.\end{wyrównane}}}$

Inkoniczny

Punktem jest środek ogólnej inkoniki

${\ displaystyle cv + bw: aw + cu: bu + śr.}$

Proste styczne do inkoniki ogólnej są liniami bocznymi △ ABC , określonymi równaniami x = 0 , y = 0 , z = 0 .

Inne funkcje

okólnikowy

• Każdy niekołowy okrąg styka się z okręgiem opisanym na △ ABC w punkcie innym niż A, B, C , często nazywanym czwartym punktem przecięcia , określonym przez współrzędne trójliniowe

$az)}$

${\ Displaystyle (cx-az) (ay-bx): (ay-bx) (bz-cy)$

• Jeśli $- cy) (cx$ bz prosta styczna do stożka w przez

• -

${\ Displaystyle (vr + wq) x + (wp + ur) y + (uq + vp) z=0.}$

• Ogólna liczba okołostożkowa redukuje się do paraboli wtedy i tylko wtedy, gdy

${\ Displaystyle u ^ {2} a ^ {2} + v ^ {2} b ^ {2} + w ^ {2} c ^ {2} -2vwbc-2wuca-2uvab = 0,} i do$

prostokątnej hiperboli wtedy i tylko wtedy, gdy

$cos A + v \ cos B + w \ cos C = 0.}$

• Ze wszystkich trójkątów wpisanych w daną elipsę , środek ciężkości tego, który ma największe pole, pokrywa się ze środkiem elipsy. Podana elipsa, przechodząca przez trzy wierzchołki tego trójkąta i wyśrodkowana w środku trójkąta, nazywana jest elipsą okrężną Steinera .

Inkoniczny

• Ogólna inkonika wtedy tylko

$zewnętrznie$

jest

trójkąta i jest styczna do przedłużeń dwóch pozostałych boków .

• Załóżmy, że ${\ displaystyle p_ {1}: q_ {1}: r_ {1}}$ i ${\ displaystyle p_ {2}: q_ {2}: r_{2}}$ są różnymi punktami i niech

${\ Displaystyle X = (p_ {1}+ p_ {2} t): (q_ {1} + q_ {2} t): (r_ {1} + r_ {2} t).} Ponieważ$

zakresy parametru t przez liczby rzeczywiste , locus X jest linią. Zdefiniuj

${\ Displaystyle X ^ {2} = (p_ {1} + p_ {2} t) ^ {2}: (q_ {1} + q_ {2} t) ^ {2}: (r_ {1} + r_ {2}t)^{2}.}$

Miejscem X ² jest niestożkowa, koniecznie elipsa dana równaniem

${\ Displaystyle L ^ {4} x ^ {2} + M ^ {4} y ^ {2} + N ^ {4} z ^ {2}-2M^{2}N^{2}yz-2N^{2}L^{2}zx-2L^{2}M^{2}xy=0,}$

gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} L & = q_ {1} r_ {2} -r_ {1} q_ {2}, \\ M & = r_ {1} p_ {2} - p_ {1} r_ {2} ,\\N&=p_{1}q_{2}-q_{1}p_{2}.\end{wyrównane}}}$

• Punkt we wnętrzu trójkąta jest środkiem inelipsy trójkąta wtedy i tylko wtedy, gdy punkt leży we wnętrzu trójkąta, którego wierzchołki leżą w środkach boków trójkąta pierwotnego. Dla danego punktu wewnątrz tego trójkąta środkowego elipsa ze środkiem w tym punkcie jest niepowtarzalna.
• Inelipsa o największym polu to inelipsa Steinera , zwana także inelipsą środkową, której środek znajduje się w środku trójkąta . Ogólnie rzecz biorąc, stosunek pola inelipsy do pola trójkąta, wyrażony sumą jednostek współrzędnych barycentrycznych ( α , β , γ ) środka elipsy, wynosi

${\ Displaystyle {\ Frac {\ tekst {Pole nieelipsy}}} {\ tekst {Pole trójkąta} }}=\pi {\sqrt {(1-2\alpha )(1-2\beta )(1-2\gamma )}},} które jest$

maksymalizowane przez współrzędne barycentryczne środka ciężkości α = β = γ = ⅓ .

• Linie łączące punkty styczności dowolnej inelipsy trójkąta z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta są współbieżne.

Rozszerzenie na czworoboki

Wszystkie środki nieelipsy danego czworoboku leżą na odcinku łączącym środki przekątnych czworokąta .

Przykłady

• cyrkostokowe
  • Circumcircle , unikalny okrąg przechodzący przez trzy wierzchołki trójkąta
  • Steiner circumelipse , unikalna elipsa, która przechodzi przez trzy wierzchołki trójkąta i jest wyśrodkowana w środku ciężkości trójkąta
  • Hiperbola Kieperta , unikalny stożek przechodzący przez trzy wierzchołki trójkąta, jego środek ciężkości i ortocentrum
  • Jeřábek hyperbola , prostokątna hiperbola wyśrodkowana na dziewięciopunktowym okręgu trójkąta i przechodząca przez trzy wierzchołki trójkąta, a także jego środek okręgu , ortocentrum i różne inne godne uwagi centra
  • Hiperbola Feuerbacha , prostokątna hiperbola, która przechodzi przez ortocentrum trójkąta, punkt Nagela i różne inne ważne punkty, a jej środek znajduje się na dziewięciopunktowym okręgu.
• Inkoniki
  • Incircle , unikalny okrąg, który jest wewnętrznie styczny do trzech boków trójkąta
  • Steiner inellipse , unikalna elipsa, która jest styczna do trzech boków trójkąta w ich punktach środkowych
  • Mandart inellipse , unikalna elipsa styczna do boków trójkąta w punktach styku jego okręgów
  • Parabola Kieperta
  • parabola Yff

Linki zewnętrzne

• Circumconic w MathWorld
• Incon w MathWorld