Hiperbola Feuerbacha

W geometrii hiperbola Feuerbacha to prostokątna hiperbola przechodząca przez ważne centra trójkątów , takie jak ortocentrum , punkt Gergonne , punkt Nagela i punkt Shifflera . Środek hiperboli to punkt Feuerbacha , punkt styczności okręgu wpisanego w okrąg i dziewięciopunktowego koła .

Równanie

Ma równanie trójliniowe ${\ Displaystyle {\ Frac {\ cos B- \ cos C} {\ alfa$ , $}$ $,$ $B$ kąty w odpowiednich wierzchołkach i

Nieruchomości

Podobnie jak inne prostokątne hiperbole, ortocentrum dowolnych trzech punktów na krzywej leży na hiperboli. Tak więc ortocentrum $krzywej$ leży

Linia $w$ $do$ tej hiperboli .

Izogonalny koniugat OI

Hiperbola jest izogonalnym koniugatem $okręgu$ łączącej środek okręgu i środek Fakt ten prowadzi do kilku interesujących właściwości. W szczególności wszystkie punkty leżące na linii $.$ swoje koniugaty izogonalne leżące na Punkt Nagela leży na krzywej, ponieważ jego izogonalny koniugat jest punktem współbieżności linii łączących wierzchołki i przeciwne punkty styku między okręgiem mieszanym liniowym , a także niepodobieństwem okręgu wpisanego i okręgu opisanego. Podobnie punkt Gergonne leży na krzywej, ponieważ jego koniugatem izogonalnym jest ex-podobieństwo okręgu wpisanego i opisanego.

Okrąg pedału dowolnego punktu na hiperboli przechodzi przez punkt Feuerbacha, środek hiperboli.

Twierdzenie Kariyi

$odot I}$ uwagę trójkąt , niech $A_$ punktami styku okręgu $, B_ {1}, C_$ ${1}$ $do {\ Displaystyle A, B, C} .$ z bokami trójkąta przeciwległymi do wierzchołków odpowiednio Niech $będą$ punktami leżącymi na liniach ${\ Displaystyle IA_ {1}, IB_ {1}, IC_ {1}}$ tak, że ${\ Displaystyle IA_ {1} = IB_ {1} = IC_ {1}}$ . $w$ linie leżącym

Twierdzenie Kariyi ma długą historię. Udowodnili to niezależnie Auguste Boutin i V. Retali., ale stało się to sławne dopiero po artykule Kariyi. Mniej więcej w tym czasie podano wiele uogólnień tego wyniku. Twierdzenie Kariyi można wykorzystać do konstrukcji hiperboli Feuerbacha.

Zarówno twierdzenie Lemoine'a , jak i twierdzenie Kariyi są szczególnym przypadkiem twierdzenia Jacobiego .

Zobacz też

Inne prostokątne hiperbole

Hiperbola Kieperta , unikalny stożek przechodzący przez trzy wierzchołki trójkąta, jego środek ciężkości i ortocentrum
Jeřábek hyperbola , prostokątna hiperbola wyśrodkowana na dziewięciopunktowym okręgu trójkąta i przechodząca przez trzy wierzchołki trójkąta, a także jego środek okręgu , ortocentrum i różne inne godne uwagi centra

^ Boucher, H. (1893). „Esej klasyfikacyjny sur les races gallines” . Annales de la Société linnéenne de Lyon . 40 (1): 89–100. doi : 10.3406/linly.1893.4047 . ISSN 1160-6398 .
^ Parry, CF (2001). „Centra trójkątów i centralne trójkąty, Clark Kimberling (Congress Numerantium, tom 129) str. 295. 42,50 $ 1998. ISSN 0316-1282 (Utilitas Mathematica Publishing, Inc., Winnipeg)” . Gazeta Matematyczna . 85 (502): 172–173. doi : 10.2307/3620531 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3620531 . S2CID 227212286 .
^ Rigby, JF (1973). „Skoncentrowana dawka staroświeckiej geometrii” . Gazeta Matematyczna . 57 (402): 296–298. doi : 10.2307/3616051 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3616051 . S2CID 126241645 .
^ „Problemy i rozwiązania” . Amerykański miesięcznik matematyczny . 119 (8): 699. 2012. doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.08.699 . S2CID 37903933 .
^ Kahane, J. (1961). „Problèmes et remarques sur les carrés de convolution” . Kolokwium matematyczne . 8 (2): 263–265. doi : 10,4064/cm-8-2-263-265 . ISSN 0010-1354 .
^ Humbert G. (1890). „Sur les coniques inscrites à une quartique” . Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques . 4 (3): 1–8. doi : 10.5802/afst.55 . ISSN 0996-0481 .
^ "Periodico di Matematica dla drugiego segmentu" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 3 (2): 56. 1889. doi : 10.1007/bf03017173 . ISSN 0009-725X . S2CID 184480136 .
^ Kariya, J. (1904). „Un probleme sur le trójkąt”, „L'Enseignement mathematiques”: 130–132, 236, 406. {{ cytuj dziennik }} : Cytuj dziennik wymaga |journal= ( pomoc )

Dalsza lektura

Hiperbola Feuerbacha , MathWorld

[1] Boucher, H. (1893). „Esej klasyfikacyjny sur les races gallines” . Annales de la Société linnéenne de Lyon . 40 (1): 89–100. doi : 10.3406/linly.1893.4047 . ISSN 1160-6398 .

[2] Parry, CF (2001). „Centra trójkątów i centralne trójkąty, Clark Kimberling (Congress Numerantium, tom 129) str. 295. 42,50 $ 1998. ISSN 0316-1282 (Utilitas Mathematica Publishing, Inc., Winnipeg)” . Gazeta Matematyczna . 85 (502): 172–173. doi : 10.2307/3620531 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3620531 . S2CID 227212286 .

[3] Rigby, JF (1973). „Skoncentrowana dawka staroświeckiej geometrii” . Gazeta Matematyczna . 57 (402): 296–298. doi : 10.2307/3616051 . ISSN 0025-5572 . JSTOR 3616051 . S2CID 126241645 .

[4] „Problemy i rozwiązania” . Amerykański miesięcznik matematyczny . 119 (8): 699. 2012. doi : 10.4169/amer.math.monthly.119.08.699 . S2CID 37903933 .

[5] Kahane, J. (1961). „Problèmes et remarques sur les carrés de convolution” . Kolokwium matematyczne . 8 (2): 263–265. doi : 10,4064/cm-8-2-263-265 . ISSN 0010-1354 .

[6] Humbert G. (1890). „Sur les coniques inscrites à une quartique” . Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques . 4 (3): 1–8. doi : 10.5802/afst.55 . ISSN 0996-0481 .

[7] "Periodico di Matematica dla drugiego segmentu" . Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 3 (2): 56. 1889. doi : 10.1007/bf03017173 . ISSN 0009-725X . S2CID 184480136 .

[8] Kariya, J. (1904). „Un probleme sur le trójkąt”, „L'Enseignement mathematiques”: 130–132, 236, 406. {{ cytuj dziennik }} : Cytuj dziennik wymaga |journal= ( pomoc )