Mieszane liniowe okręgi trójkąta

W geometrii , mixtilinear incircle trójkąta jest okręgiem stycznym do dwóch jego boków i wewnętrznie stycznym do jego okręgu opisanego . Mieszane koło wpisane w trójkąt styczny do dwóch boków zawierających $.$ nazywane jest mieszanym okręgiem wpisanym ${\ displaystyle A}$ Każdy trójkąt ma trzy unikalne mieszane okręgi liniowe, po jednym odpowiadającym każdemu wierzchołkowi.

${\ Displaystyle A}$ -Mixtilinear wpisany w trójkąt ${\ displaystyle ABC}$

Dowód istnienia i wyjątkowości

Za $wyjątkowe$$}$ - koło trójkąta . Niech $będzie$ transformacją zdefiniowaną przez złożenie inwersji wyśrodkowanej w promieniu ${\ Displaystyle$${\ sqrt {AB \ cdot AC}}}$ i odbiciem } względem dwusiecznej kąta na ${\ Displaystyle A}$ . Ponieważ inwersja i odbicie są bijekcją i zachowują punkty styku, to $również$ robi. $okręgu$ obraz okręgu $pod$ spodem jest $kołem$ wewnętrznie stycznym do $} displaystyle ABC}$ opisanego \ , czyli ${\ Displaystyle A}$ -mixtilinear inkrąg. Dlatego $incircle istnieje i$$displaystyle$ wyjątkowy, a podobny argument może udowodnić to samo dla mixtilinear incircle odpowiadających i do {\ $}$ .

Budowa

Sześciokąt $_$$_$ _ _

-mixtilinear $incircle$ można skonstruować za pomocą następującej sekwencji kroków

1. Narysuj środek $.$ przecinając dwusieczne kątów
2. $D$ linię przechodzącą prostopadle do linii , dotykając linii i ${\ Displaystyle AC$$}$$w$ punktach $\$${ odpowiednio \displaystyle E}$ . To są punkty styczne okręgu mixtilinear.
3. Narysuj prostopadłe do $i przecinając je$ odpowiednio $przez$ punkty i $\$ je w $}$$displaystyle$ . ${\ Displaystyle O_ {A}}$ jest środkiem okręgu, więc okrąg o środku $Displaystyle$ O $O_ {A} E}$ jest okręgiem mieszanym liniowym

Taka konstrukcja jest możliwa dzięki następującemu faktowi:

Lemat

Środek jest punktem środkowym punktów styku mieszanego okręgu z dwoma bokami.

Dowód

Niech ${\ Displaystyle \ Gamma}$$} \ Displaystyle \ Omega _ {A}}$ okręgiem opisanym na trójkącie $będzie$ punktem -mixtilinear incircle $A$${\ Displaystyle$ i ${\ Displaystyle \ Gamma}$ . Niech ${\ Displaystyle X \ neq T_ {A}}$ będzie przecięciem linii ${\ Displaystyle T_ {A} D}$ z ${\ Displaystyle \ Gamma}$ i ${\ Displaystyle Y \ neq T_ {A}}$ będzie przecięciem linii ${\ Displaystyle T_ {A} E}$ z ${\ Displaystyle \ Gamma}$ . Jednorodność ze środkiem na $​​X$ między i oznacza, że $\ Displaystyle \ Omega _ {A}}$$Displaystyle \ Gamma}$ { $Y} to$$łuków$$.$ , odpowiednio punkty środkowe i ${\ displaystyle AB$ Twierdzenie o $_$ wpisanym implikuje $,$ _ Twierdzenie Pascala o sześciokącie $}}$${$$\$ w implikuje, że współliniowe Ponieważ kąty $}$$\ Displaystyle$ , wynika z tego, że jest odcinka $\ kąt {DAI }$${\ displaystyle DE}$ .

Inne właściwości

Promień

$ABC}$ promienia $wpisanego$ i promienia $okręgu$ wpisanego w trójkąt ZA $A}$$Displaystyle$ :

$$\ Displaystyle R = \ rho _ {A} \ cdot \ sałata ^ {2} {\ Frac {\ alfa} {2}}}$$

gdzie jest wielkością kąta przy ${ \ displaystyle$$}$ .

Związek z punktami na okręgu opisanym

• Punkt środkowy łuku , który zawiera punkt, $Displaystyle$$na$ linii $T_ {A} I$ .
• Czworokąt $XAY}$$A} Y}$ jest harmoniczny , co oznacza, że ​​jest symmedianem na trójkącie $T$ .

Okręgi powiązane z punktem styczności z okręgiem opisanym

${\ Displaystyle T_ {A} BDI}$ i $\ Displaystyle T_ {A} CEI}$ są cyklicznymi czworobokami .

Spiralne podobieństwa

${ \ displaystyle I,$ spiralnego podobieństwa, które odwzorowuje odpowiednio ${\ displaystyle B, I}$ ja $}$ .

Relacja między trzema mixtilinearnymi okręgami

Linie łączące wierzchołki i mieszane punkty styczności

Trzy linie łączące wierzchołek z punktem styku okręgu opisanego z odpowiadającym mu okręgiem mieszanym liniowym spotykają się w zewnętrznym środku podobieństwa okręgu wpisanego i opisanego. Online Encyclopedia of Triangle Centers wymienia ten punkt jako X(56). Jest zdefiniowany przez współrzędne trójliniowe ${\ Displaystyle {\ Frac {a} {c + ab}}: {\ Frac {b} {c + ab}}: {\ Frac {c} {a + bc}}} i współrzędne$ barycentryczne ${\ Displaystyle {\ Frac {a ^ {2}} {c + ab}}: {\ Frac {b ^ {2}} {c +ab}}:{\frac {c^{2}}{a+bc}}}$ .

Radykalne centrum

$\ displaystyle OI}$ punkt, który dzieli w stosunku ${$

$${\ Displaystyle OJ: JI = 2R: -r}$$

gdzie ${\ Displaystyle I, r, O, R}$ to odpowiednio incenter, inradius, circumcenter i circumradius.