Symmedian

Mediany (zbiegają się w środku ciężkości

G

)

Dwusieczne kąta (zbiegają się w środku

I

)

Symmediany (zbiegają się w punkcie symmediany

L

)

W geometrii symmediany to trzy szczególne linie związane z każdym trójkątem . Są one konstruowane poprzez wzięcie środkowej trójkąta (linia łącząca wierzchołek z punktem środkowym przeciwnej strony) i odbicie linii przez odpowiednią dwusieczną kąta (linia przechodząca przez ten sam wierzchołek, która dzieli tam kąt na pół). Kąt utworzony przez symmedianę a dwusieczna kąta ma taką samą miarę jak kąt między środkową a dwusieczną kąta, ale znajduje się po drugiej stronie dwusiecznej kąta.

Trzej symmedianie spotykają się w środku trójkąta, zwanym punktem Lemoine'a . Ross Honsberger nazwał jego istnienie „jednym z klejnotów koronnych współczesnej geometrii”.

Izogonalność

Wiele razy w geometrii, jeśli poprowadzimy trzy specjalne linie przechodzące przez wierzchołki trójkąta lub ceviany , to ich odbicia względem odpowiednich dwusiecznych kątów, zwane liniami izogonalnymi , również będą miały interesujące właściwości. Na przykład, jeśli trzy ceviany trójkąta przecinają się w punkcie $P$ , to ich linie izogonalne również przecinają się w punkcie, zwanym koniugatem izogonalnym $P$ .

Symmediany ilustrują ten fakt.

Na diagramie środkowe (zaznaczone na czarno) przecinają się w środku ciężkości $G$ .
Ponieważ symmediany (na czerwono) są izogonalne do środkowych, przecinają się one również w jednym punkcie, $L$ .

punktem symmedianowym trójkąta lub alternatywnie punktem Lemoine'a lub punktem Grebe'a .

Linie przerywane to dwusieczne kątów; symmediany i mediany są symetryczne względem dwusiecznych kątów (stąd nazwa „symmediana”)

Budowa symmedianu

AD

jest symmedianą przechodzącą przez

ABC wierzchołek

A

△ .

Niech $△ ABC$ będzie trójkątem. Skonstruuj punkt $D$ , przecinając styczne z $B$ i $C$ do okręgu opisanego . Wtedy $AD$ jest symmedianem $△ ABC$ .

pierwszy dowód. Niech odbicie $AD$ w poprzek dwusiecznej kąta $∠ BAC$ spotka się z $BC$ w $M'$ . Następnie:

${\ Displaystyle {\ Frac {|BM'|}{|M'C|}} = {\ Frac {|AM'|{\ Frac {\ sin \angle {BAM'}}}} {\ sin \angle { ABM'}}}}{|AM'|{\frac {\sin \angle {CAM'}}{\sin \angle {ACM'}}}}}={\frac {\sin \angle {BAM'} }{\sin \angle {ACD}}}{\frac {\sin \angle {ABD}}{\sin \angle {CAM'}}}={\frac {\sin \angle {CAD}}{\sin \angle {ACD}}}{\frac {\sin \angle {ABD}}{\sin \angle {BAD}}}={\frac {|CD|}{|AD|}}{\frac {|AD |}{|BD|}}=1}$

drugi dowód. Zdefiniuj $D'$ jako izogonalny koniugat $D$ . Łatwo zauważyć, że odbiciem $CD$ od dwusiecznej jest prosta przechodząca przez $C$ , równoległa do $AB$ . To samo dotyczy $BD$ , więc $ABD'C$ jest równoległobokiem. $AD'$ jest wyraźnie medianą, ponieważ przekątne równoległoboku przecinają się na pół, a $AD$ jest jego odbiciem względem dwusiecznej.

trzeci dowód. Niech $ω$ będzie okręgiem o środku $D$ przechodzącym przez $B$ i $C$ , oraz niech $O$ będzie środkiem okręgu opisanego na $△ ABC$ . Powiedzmy, że linie $AB, AC$ przecinają się $odpowiednio$ w punktach $P, Q$ . Ponieważ $∠ ABC = ∠ AQP$ , trójkąty $△ ABC$ i $△ AQP$ są podobne. Od

{\ Displaystyle \ kąt PBQ = \ kąt BQC + \ kąt BAC = {\ Frac {\ kąt BDC + \angle BOC}{2}}=90^{\circ},}

widzimy, że $PQ$ jest średnicą $ω$ , a zatem przechodzi przez $D$ . Niech $M$ będzie środkiem odcinka $BC$ . Ponieważ $D$ jest środkiem $PQ$ , z podobieństwa wynika, że $∠ BAM = ∠ QAD$ , z czego wynika wynik.

czwarty dowód. Niech $S$ będzie środkiem łuku $BC$ . $| BS | = | SC |$ , więc $AS$ jest dwusieczną kąta $∠ BAC$ . Niech $M$ będzie środkiem okręgu $BC$ i wynika z tego, że $D$ $jest$ odwrotnością M względem okręgu opisanego. Z tego wiemy, że okrąg opisany jest kołem apollińskim z ogniskami $M, D$ . Więc $AS$ jest dwusieczną kąta $∠ DAM$ i osiągnęliśmy zamierzony rezultat.

czworościany

Pojęcie punktu symmediany rozciąga się na (nieregularne) czworościany. Mając dany czworościan $ABCD,$ dwie płaszczyzny $P, Q$ do $AB$ są izogonalne, jeśli tworzą równe kąty z płaszczyznami $ABC$ i $ABD$ . Niech $M$ będzie środkiem boku $CD$ . Płaszczyzna zawierająca bok $AB$ , który jest równoległy do płaszczyzny $ABM$ , nazywana jest płaszczyzną symmediany czworościanu. Można pokazać, że płaszczyzny symmediany przecinają się w punkcie, punkcie symediany. Jest to również punkt, który minimalizuje kwadratową odległość od ścian czworościanu.

Linki zewnętrzne