stożki kieperta

W geometrii trójkąta stożki Kieperta to dwa specjalne stożki związane z trójkątem odniesienia. Jedna z nich to hiperbola , zwana hiperbolą Kieptera , a druga to parabola , zwana parabolą Kieperta . Stożki Kieperta definiuje się w następujący sposób:

Jeśli trzy trójkąty

{\ Displaystyle A ^ {\ liczba pierwsza} pne}

,

{\ Displaystyle AB ^ {\ liczba pierwsza} C}

i

{\ Displaystyle ABC ^ {\ liczba pierwsza}}

, zbudowane na bokach trójkąta

,

są podobne, równoramienne

trójkąty i

{\ Displaystyle A ^ {\ pierwsza} B ^ {\ pierwsza} C ^ {\ pierwsza}}

są w perspektywie . Ponieważ kąt podstawy trójkątów równoramiennych waha się między

}

ABC

Displaystyle - \ pi /

i , miejsce środka trójkątów do i

{\ Displaystyle A ^ {\ prime} B ^ {\ prime} C ^ {\ prime}}

jest hiperbolą zwaną hiperbolą Kieperta, a obwiednią ich osi perspektywy jest parabola zwana parabolą Kieperta.

Udowodniono, że hiperbola Kieperta to hiperbola przechodząca przez wierzchołki, środek ciężkości i ortocentrum trójkąta odniesienia, a parabola Kieperta to parabola wpisana w trójkąt odniesienia, którego kierownicą jest prosta Eulera , a środek trójkąta X ₁₁₀ jako ostrość . Poniższy cytat z artykułu RH Eddy'ego i R. Fritscha jest wystarczającym świadectwem, aby ustalić znaczenie stożków Kieperta w badaniu geometrii trójkąta:

„Gdyby przybysz z Marsa chciał nauczyć się geometrii trójkąta, ale mógł przebywać w stosunkowo gęstej atmosferze ziemskiej tylko na jedną lekcję, ziemscy matematycy bez wątpienia mieliby trudności ze spełnieniem tej prośby. , wierzymy, że mamy optymalne rozwiązanie problemu. Stożki Kieperta…”

Hiperbola Kieperta

Hiperbola Kieperta została odkryta przez Ludviga Kieperta podczas badania rozwiązania następującego problemu zaproponowanego przez Emile'a Lemoine'a w 1868 r.: „Zbuduj trójkąt, biorąc pod uwagę wierzchołki trójkątów równobocznych zbudowanych po bokach”. Rozwiązanie problemu zostało opublikowane przez Ludviga Kieperta w 1869 r., A rozwiązanie zawierało uwagę, która skutecznie określała definicję locus hiperboli Kieperta, do której nawiązywała wcześniej.

Podstawowe fakty

Niech $}$ $,$ będzie długościami boków i kątami wierzchołków trójkąta odniesienia ${\ displaystyle ABC}$ .

Równanie

Równanie hiperboli Kieperta we współrzędnych barycentrycznych wynosi ${\ Displaystyle x: y: z}$

{\ Displaystyle {\ Frac {b ^ {2} -c ^ {2}} {x}} + {\ Frac {c^{2}-a^{2}}{y}}+{\frac {a^{2}-b^{2}}{z}}=0.}

Środek, asymptoty

Środek hiperboli Kieperta to środek trójkąta X(115). Współrzędne barycentryczne środka to

{\ Displaystyle (b ^ {2} -c ^ {2}) ^ {2}:(c^{2}-a^{2})^{2}:(a^{2}-b^{2})^{2}}

.

Asymptoty hiperboli Kieperta to proste Simsona przecięcia osi Brocarda z okręgiem opisanym .
Hiperbola Kieperta jest prostokątną hiperbolą , a zatem jej mimośrodowość wynosi ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ .

Nieruchomości

Środek hiperboli Kieperta leży na dziewięciopunktowym kole . Środek jest środkiem odcinka linii łączącego izogoniczne środki trójkąta, $są centra trójkątów X (13) i X ($ Encyklopedii centrów trójkątów
Obrazem hiperboli Kieperta pod izogonalną transformacją jest oś Brocarda trójkąta , $opisanego$ linią łączącą punkt symediany środek okręgu .
Niech $będzie punktem$ ${\ Displaystyle ABC}$ płaszczyźnie trójkąta nierównobocznego $trójliniowym$ będzie względem $P}$ { $displaystyle$ . $Miejsce$ punktów takie, że $jest$ linii Eulera ${\ displaystyle ABC}$ to hiperbola Kieperta.

Parabola Kieperta

Parabola Kieperta została po raz pierwszy zbadana w 1888 roku przez niemieckiego nauczyciela matematyki Augustusa Artzta w ramach „programu szkolnego”.

Podstawowe fakty

Równanie $współrzędnych$ to

{\ Displaystyle f ^ {2} x ^ {2} + g ^ {2} y ^ {2} + h ^ {2} z ^ {2} -2fgxy-2ghyz-2hfzx = 0 }

gdzie

{\ Displaystyle f = (b ^ {2} -c ^ {2})/a,g=(c^{2}-a^{2})/b,h=(a^{2}-b^{2})/c}

.

Ogniskiem paraboli Kieperta jest środek trójkąta X(110). Współrzędne barycentryczne ogniska to

{\ Displaystyle a ^ {2} / (b ^ {2} -c ^ { 2}):b^{2}/(c^{2}-a^{2}):c^{2}/(a^{2}-b^{2})} Kierownica

paraboli Kieperta jest linią Eulera trójkąta ${\ displaystyle ABC}$ .

Obrazy

Hiperbola Kieperta przedstawiająca środek perspektywy trójkątów ABC i A'B'C'
Hiperbola Kieperta przedstawiająca ortocentrum, incentrum i prostopadłe asymptoty
Parabola Kieperta trójkąta ABC. Rysunek przedstawia również członka (prosta LMN) rodziny prostych, których obwiednią jest parabola Kiepperta.
Parabola Kieperta przedstawiająca ognisko i kierownicę

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Kiepert Hiperbola” . MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram . Źródło 5 lutego 2022 r .
Weisstein, Eric W. „Kiepert Parabola” . MathWorld — zasób internetowy firmy Wolfram . Źródło 5 lutego 2022 r .