Perspektywa (geometria)
Dwie figury na płaszczyźnie są perspektywiczne z punktu O , zwanego środkiem perspektywy, jeśli proste łączące odpowiednie punkty figur przecinają się w punkcie O . Podwójnie , mówi się, że figury są perspektywiczne z linii , jeśli wszystkie punkty przecięcia odpowiednich linii leżą na jednej prostej. Właściwym miejscem dla tego pojęcia jest geometria rzutowa gdzie nie będzie specjalnych przypadków ze względu na proste równoległe, ponieważ wszystkie proste się spotykają. Chociaż podano tutaj dla figur na płaszczyźnie, koncepcję tę można łatwo rozszerzyć na wyższe wymiary.
Terminologia
Linia przechodząca przez punkty, w których przecinają się odpowiednie boki figury, jest znana jako oś perspektywy , oś perspektywy , oś homologii lub archaicznie perspektrix . Mówi się, że figury są perspektywiczne z tej osi. Punkt, w którym przecinają się linie łączące odpowiednie wierzchołki figur perspektywicznych, nazywany jest środkiem perspektywy , środkiem perspektywy , środkiem homologii , biegunem lub archaicznie perspektorem . Mówi się, że figury są perspektywiczne z tego środka.
Perspektywa
Jeśli każda z figur perspektywicznych składa się ze wszystkich punktów na linii (przedział ) , to przekształcenie punktów jednego przedziału w drugi nazywa się perspektywą środkową . Podwójna transformacja, polegająca na przeniesieniu wszystkich linii przez punkt ( ołówek ) do innego ołówka za pomocą osi perspektywy, nazywana jest perspektywą osiową .
Trójkąty
Ważny przypadek szczególny występuje, gdy figury są trójkątami . Dwa trójkąty, które są w perspektywie z punktu, nazywane są parą środkową , a dwa trójkąty, które są w perspektywie z prostej, nazywamy parą osiową .
Notacja
Karl von Staudt wprowadził notację, perspektywiczne
Powiązane twierdzenia i konfiguracje
Twierdzenie Desarguesa mówi, że centralna para trójkątów jest osiowa. Odwrotne stwierdzenie, że osiowa para trójkątów jest centralna, jest równoważne (można użyć jednego do udowodnienia drugiego). Twierdzenie Desarguesa można udowodnić na rzeczywistej płaszczyźnie rzutowej , az odpowiednimi modyfikacjami dla przypadków szczególnych na płaszczyźnie euklidesowej . Płaszczyzny rzutowe , na których można udowodnić ten wynik, nazywane są płaszczyznami Desarguesa .
Istnieje dziesięć punktów związanych z tymi dwoma rodzajami perspektywy: sześć na dwóch trójkątach, trzy na osi perspektywy i jeden w środku perspektywy. Podwójnie , istnieje również dziesięć linii powiązanych z dwoma trójkątami perspektywicznymi: trzema bokami trójkątów, trzema liniami przechodzącymi przez środek perspektywy i osią perspektywy. Te dziesięć punktów i dziesięć linii tworzy instancję konfiguracji Desarguesa .
Jeśli dwa trójkąty są parą środkową na co najmniej dwa różne sposoby (z dwoma różnymi skojarzeniami odpowiednich wierzchołków i dwoma różnymi środkami perspektywy), to są perspektywiczne na trzy sposoby. Jest to jedna z równoważnych form twierdzenia Pappusa (sześciokąt) . Kiedy tak się dzieje, dziewięć powiązanych punktów (sześć wierzchołków trójkąta i trzy środki) oraz dziewięć powiązanych linii (trzy przechodzące przez każdy środek perspektywy) tworzą instancję konfiguracji Pappusa .
Konfiguracja Reye'a jest utworzona przez cztery czterościany perspektywiczne w sposób analogiczny do konfiguracji Pappusa.
Zobacz też
Notatki
- Coxeter, Harold Scott MacDonald (1969), Wprowadzenie do geometrii (wyd. 2), Nowy Jork: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0 , MR 0123930
- Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275
- Young, John Wesley (1930), Geometria rzutowa , Monografie matematyczne Carusa (nr 4), Mathematical Association of America