Konfiguracja Reye'a

Konfiguracja Reye'a

W geometrii konfiguracja Reye'a , wprowadzona przez Theodora Reye'a ( 1882 ), jest konfiguracją 12 punktów i 16 linii . Każdy punkt konfiguracji należy do czterech linii, a każda linia zawiera trzy punkty. Dlatego w zapisie konfiguracji konfiguracja Reye'a jest zapisywana jako 12 4 16 3 .

Realizacja

Konfigurację Reye'a można zrealizować w trójwymiarowej przestrzeni rzutowej , przyjmując, że linie to 12 krawędzi i cztery długie przekątne sześcianu , a punkty to osiem wierzchołków sześcianu, jego środek i trzy punkty, w których znajdują się grupy cztery równoległe krawędzie sześcianu stykają się z płaszczyzną w nieskończoności. W sześcian można wpisać dwa czworościany foremne, tworząc stella octagula ; te dwa czworościany są względem siebie figurami perspektywicznymi na cztery różne sposoby, a pozostałe cztery punkty konfiguracji to ich środki perspektywy. Te dwa czworościany wraz z czworościanem pozostałych 4 punktów tworzą układ desmiczny trzech czworościanów.

Dowolne dwie rozłączne kule w przestrzeni trójwymiarowej, o różnych promieniach, mają dwa podwójne stożki bitangentne , których wierzchołki nazywane są środkami podobieństwa. Jeśli dane są trzy kule, których środki nie są współliniowe, to ich sześć środków podobieństwa tworzy sześć punktów pełnego czworoboku , którego cztery linie nazywane są osiami podobieństwa. A jeśli dane są cztery sfery, których środki nie są współpłaszczyznowe, to wyznaczają one 12 środków podobieństwa i 16 osi podobieństwa, które razem tworzą przykład konfiguracji Reye'a (Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ) .

Konfigurację Reye'a można również zrealizować za pomocą punktów i linii na płaszczyźnie euklidesowej , rysując trójwymiarową konfigurację w perspektywie trzypunktowej . Konfigurację 8 3 12 2 ośmiu punktów na rzeczywistej płaszczyźnie rzutu i 12 łączących je linii, z układem połączeń sześcianu, można rozszerzyć do konfiguracji Reye'a wtedy i tylko wtedy, gdy osiem punktów jest rzutem perspektywicznym równoległościanu ( Servatius & Servatius 2010 )

24 permutacje punktów tworzą wierzchołki 24 komórek wyśrodkowanych w początku czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej ( . Te 24 punkty tworzą również 24 korzenie w systemie korzeniowym . Można je pogrupować w pary punktów naprzeciw siebie na linii przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Linie i płaszczyzny przechodzące przez początek czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej mają geometrię punktów i linii trójwymiarowej przestrzeni rzutowej , aw tej trójwymiarowej przestrzeni rzutowej linie przechodzące przez przeciwległe pary tych 24 punktów i płaszczyzny środkowe przechodzące przez punkty te stają się punktami i liniami konfiguracji Reye'a ( Manivel 2006 ). Permutacje tworzą jednorodne współrzędne 12 punktów w tej konfiguracji.

Aplikacja

Aravind (2000) zwrócił uwagę, że konfiguracja Reye'a leży u podstaw niektórych dowodów twierdzenia Bella-Kochena-Speckera o nieistnieniu zmiennych ukrytych w mechanice kwantowej.

Powiązane konfiguracje

Konfiguracja Pappusa może być utworzona z dwóch trójkątów, które są względem siebie figurami perspektywicznymi na trzy różne sposoby, analogicznie do interpretacji konfiguracji Reye'a obejmującej czworościany desmiczne.

Jeśli konfiguracja Reye'a jest utworzona z sześcianu w przestrzeni trójwymiarowej, to istnieje 12 płaszczyzn zawierających po cztery linie: sześć płaszczyzn sześcianu i sześć płaszczyzn przechodzących przez pary przeciwległych krawędzi sześcianu. Przecięcie tych 12 płaszczyzn i 16 linii z inną płaszczyzną w położeniu ogólnym daje konfigurację 16 3 12 4 , podwójną konfigurację Reye'a. Oryginalna konfiguracja Reye'a i jej dualna razem tworzą konfigurację 28 4 28 4 ( Grünbaum & Rigby 1990 ).

Istnieje 574 różnych konfiguracji typu 12 4 16 3 ( Betten & Betten 2005 ).