Konfiguracja Reye'a
W geometrii konfiguracja Reye'a , wprowadzona przez Theodora Reye'a ( 1882 ), jest konfiguracją 12 punktów i 16 linii . Każdy punkt konfiguracji należy do czterech linii, a każda linia zawiera trzy punkty. Dlatego w zapisie konfiguracji konfiguracja Reye'a jest zapisywana jako 12 4 16 3 .
Realizacja
Konfigurację Reye'a można zrealizować w trójwymiarowej przestrzeni rzutowej , przyjmując, że linie to 12 krawędzi i cztery długie przekątne sześcianu , a punkty to osiem wierzchołków sześcianu, jego środek i trzy punkty, w których znajdują się grupy cztery równoległe krawędzie sześcianu stykają się z płaszczyzną w nieskończoności. W sześcian można wpisać dwa czworościany foremne, tworząc stella octagula ; te dwa czworościany są względem siebie figurami perspektywicznymi na cztery różne sposoby, a pozostałe cztery punkty konfiguracji to ich środki perspektywy. Te dwa czworościany wraz z czworościanem pozostałych 4 punktów tworzą układ desmiczny trzech czworościanów.
Dowolne dwie rozłączne kule w przestrzeni trójwymiarowej, o różnych promieniach, mają dwa podwójne stożki bitangentne , których wierzchołki nazywane są środkami podobieństwa. Jeśli dane są trzy kule, których środki nie są współliniowe, to ich sześć środków podobieństwa tworzy sześć punktów pełnego czworoboku , którego cztery linie nazywane są osiami podobieństwa. A jeśli dane są cztery sfery, których środki nie są współpłaszczyznowe, to wyznaczają one 12 środków podobieństwa i 16 osi podobieństwa, które razem tworzą przykład konfiguracji Reye'a (Hilbert & Cohn-Vossen 1952 ) .
Konfigurację Reye'a można również zrealizować za pomocą punktów i linii na płaszczyźnie euklidesowej , rysując trójwymiarową konfigurację w perspektywie trzypunktowej . Konfigurację 8 3 12 2 ośmiu punktów na rzeczywistej płaszczyźnie rzutu i 12 łączących je linii, z układem połączeń sześcianu, można rozszerzyć do konfiguracji Reye'a wtedy i tylko wtedy, gdy osiem punktów jest rzutem perspektywicznym równoległościanu ( Servatius & Servatius 2010 )
24 permutacje punktów tworzą wierzchołki 24 komórek wyśrodkowanych w początku czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej ( . Te 24 punkty tworzą również 24 korzenie w systemie korzeniowym . Można je pogrupować w pary punktów naprzeciw siebie na linii przechodzącej przez początek układu współrzędnych. Linie i płaszczyzny przechodzące przez początek czterowymiarowej przestrzeni euklidesowej mają geometrię punktów i linii trójwymiarowej przestrzeni rzutowej , aw tej trójwymiarowej przestrzeni rzutowej linie przechodzące przez przeciwległe pary tych 24 punktów i płaszczyzny środkowe przechodzące przez punkty te stają się punktami i liniami konfiguracji Reye'a ( Manivel 2006 ). Permutacje tworzą jednorodne współrzędne 12 punktów w tej konfiguracji.
Aplikacja
Aravind (2000) zwrócił uwagę, że konfiguracja Reye'a leży u podstaw niektórych dowodów twierdzenia Bella-Kochena-Speckera o nieistnieniu zmiennych ukrytych w mechanice kwantowej.
Powiązane konfiguracje
Konfiguracja Pappusa może być utworzona z dwóch trójkątów, które są względem siebie figurami perspektywicznymi na trzy różne sposoby, analogicznie do interpretacji konfiguracji Reye'a obejmującej czworościany desmiczne.
Jeśli konfiguracja Reye'a jest utworzona z sześcianu w przestrzeni trójwymiarowej, to istnieje 12 płaszczyzn zawierających po cztery linie: sześć płaszczyzn sześcianu i sześć płaszczyzn przechodzących przez pary przeciwległych krawędzi sześcianu. Przecięcie tych 12 płaszczyzn i 16 linii z inną płaszczyzną w położeniu ogólnym daje konfigurację 16 3 12 4 , podwójną konfigurację Reye'a. Oryginalna konfiguracja Reye'a i jej dualna razem tworzą konfigurację 28 4 28 4 ( Grünbaum & Rigby 1990 ).
Istnieje 574 różnych konfiguracji typu 12 4 16 3 ( Betten & Betten 2005 ).
- Aravind, PK (2000), „Jak konfiguracja Reye'a pomaga w udowodnieniu twierdzenia Bella-Kochena-Speckera: ciekawa opowieść geometryczna” (PDF) , Foundations of Physics Letters , 13 (6): 499–519, doi : 10.1023 / A :1007863413622 , MR 1814009
- Berger, Marcel (2010), Geometria ujawniona , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996-1 , MR 2724440
- Betten, Anton; Betten, Dieter (2005), „Więcej o regularnych przestrzeniach liniowych” (PDF) , Journal of Combinatorial Designs , 13 (6): 441–461, doi : 10.1002/jcd.20055 , MR 2221852 .
- Grünbaum, Branko ; Rigby, JF (1990), „Prawdziwa konfiguracja (21 4 )”, Journal of the London Mathematical Society , druga seria, 41 (2): 336–346, doi : 10.1112 / jlms / s2-41.2.336 , MR 1067273 .
- Hilbert, Dawid ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), „22. Konfiguracja Reye'a”, Geometry and the Imagination (wyd. 2), New York: Chelsea, s. 134–143, ISBN 978-0-8284-1087-8 . Zobacz też s. 154–157.
- Manivel, L. (2006), „Konfiguracje linii i modeli algebr Liego”, Journal of Algebra , 304 (1): 457–486, arXiv : math/0507118 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 , MR 2256401 . Zobacz w szczególności sekcję 2.1, „Konfiguracja i trialowość Reye'a”, s. 460–461.
- Reye, Th. (1882), „Das Problem der Configurationen”, Acta Mathematica (w języku niemieckim), 1 (1): 93–96, doi : 10.1007/BF02391837 , MR 1554576 .
- Serwacy, Brygida ; Servatius, Herman (2010), „Uogólniona konfiguracja Reye'a”, Ars Mathematica Contemporanea , 3 (1): 21–27, doi : 10.26493/1855-3974.108.423 , MR 2592512 .