Konfiguracja Grünbauma-Rigby'ego

Konfiguracja Grünbauma-Rigby'ego

W geometrii konfiguracja Grünbauma-Rigby'ego jest konfiguracją symetryczną składającą się z 21 punktów i 21 linii, z czterema punktami na każdej linii i czterema liniami przechodzącymi przez każdy punkt. Pierwotnie badany przez Felixa Kleina na złożonej płaszczyźnie rzutowej w połączeniu z kwarcem Kleina , został po raz pierwszy zrealizowany na płaszczyźnie euklidesowej przez Branko Grünbauma i Johna F. Rigby'ego .

Historia i notacja

Konfiguracja Grünbauma-Rigby'ego była znana Felixowi Kleinowi , Williamowi Burnside'owi i HSM Coxeterowi . Jego oryginalny opis autorstwa Kleina w 1879 r. Był pierwszym pojawieniem się w literaturze matematycznej konfiguracji 4, systemu punktów i linii z czterema punktami na linię i czterema liniami na punkt. W opisie Kleina te punkty i linie należą do zespolonej płaszczyzny rzutowej , przestrzeni, której współrzędne są raczej liczbami zespolonymi niż liczbami rzeczywistymi współrzędnych płaszczyzny euklidesowej.

Geometryczna realizacja tej konfiguracji jako punktów i linii na płaszczyźnie euklidesowej , oparta na nałożeniu na siebie trzech regularnych heptagramów , została ustalona znacznie później przez Branko Grünbauma i JF Rigby'ego ( 1990 ). Ich artykuł na ten temat stał się pierwszym z serii prac Grünbauma na temat konfiguracji i zawierał pierwsze opublikowane graficzne przedstawienie konfiguracji 4.

W zapisie konfiguracji oznacza się konfiguracje z 21 punktami, 21 liniami, 4 punktami na linię i 4 liniami na punkt (21 ₄ ). Notacja nie określa jednak samej konfiguracji, a jedynie jej typ (liczbę punktów, linii i incydencji). Nie precyzuje również, czy konfiguracja jest czysto kombinatoryczna (abstrakcyjny wzór występowania linii i punktów), czy też punkty i linie konfiguracji są możliwe do zrealizowania na płaszczyźnie euklidesowej lub innej standardowej geometrii. Typ (21 ₄ ) jest wysoce niejednoznaczne: istnieje nieznana, ale duża liczba (kombinatorycznych) konfiguracji tego typu, z których 200 zostało wymienionych przez Di Paola i Groppa (1989) .

Budowa

Konfigurację Grünbauma-Rigby'ego można zbudować z siedmiu punktów regularnego siedmiokąta i jego 14 wewnętrznych przekątnych. Aby ukończyć 21 punktów i linii konfiguracji, należy je powiększyć o 14 dodatkowych punktów i siedem dodatkowych linii. Pozostałe 14 punktów konfiguracji to punkty, w których przecinają się pary przekątnych siedmiokąta o równej długości. Tworzą one dwa mniejsze siedmiokąty, po jednym dla każdej z dwóch długości przekątnej; boki tych mniejszych siedmiokątów są przekątnymi zewnętrznego siedmiokąta. Każdy z dwóch mniejszych siedmiokątów ma 14 przekątnych, z których siedem jest wspólnych z drugim mniejszym siedmiokątem. Siedem wspólnych przekątnych to pozostałe siedem linii konfiguracji.

Oryginalna konstrukcja konfiguracji Grünbauma-Rigby'ego autorstwa Kleina postrzegała jej punkty i linie jako należące do złożonej płaszczyzny rzutowej , a nie do płaszczyzny euklidesowej. W tej przestrzeni punkty i linie tworzą perspektywiczne centra i osie przekształceń perspektywicznych kwarcu Kleina . Mają ten sam wzór przecięć punkt-linia, co euklidesowa wersja konfiguracji.

Skończona płaszczyzna $57$$displaystyle C}$ i można jej nadać współrzędne na podstawie liczb całkowitych modulo 7. W tej do (zbiór rozwiązań równania kwadratowego z dwiema zmiennymi modulo 7) ma 28 siecznych przechodzących przez pary punktów, 8 stycznych przechodzących przez pojedynczy punkt i 21 niesiecznych, które są rozłączne z ${\ Displaystyle C}$ . Podwójnie istnieje 28 punktów, w których spotykają $się$ pary stycznych, 8 punktów na i punktów wewnętrznych, które nie należą do żadnej linii stycznej. 21 niesiecznych linii i 21 punktów wewnętrznych tworzy instancję konfiguracji Grünbauma-Rigby'ego, co oznacza, że ​​ponownie te punkty i linie mają ten sam wzór przecięć.

Nieruchomości

Rzutowa podwójność tej konfiguracji, system punktów i linii z punktem dla każdej linii konfiguracji i linią dla każdego punktu, z tymi samymi incydencjami punkt-linia, jest tą samą konfiguracją. Grupa symetrii konfiguracji obejmuje symetrie, które przenoszą dowolną parę incydentów punktów i linii do dowolnej innej pary incydentów. Konfiguracja Grünbauma-Rigby'ego jest przykładem konfiguracji policyklicznej, to znaczy konfiguracji o symetrii cyklicznej , w której każda orbita punktów lub linii ma taką samą liczbę elementów.

Notatki

•    Boben, Marko; Pisanski, Tomaž (2003), „Konfiguracje policykliczne”, European Journal of Combinatorics , 24 (4): 431–457, doi : 10.1016/S0195-6698 (03) 00031-3 , ISSN 0195-6698 , MR 1975946
•   Burnside, W. (1907), „O konfiguracji Hesji i jej związku z grupą 360 kolineacji płaskich” , Proceedings of the London Mathematical Society , druga seria, 4 : 54–71, doi : 10,1112 / plms / s2-4,1 .54 , MR 1576105
•   Coxeter, HSM (1983), „Mój wykres”, Proceedings of the London Mathematical Society , trzecia seria, 46 (1): 117–136, doi : 10.1112/plms/s3-46.1.117 , MR 0684825
•   Di Paola, Jane W.; Gropp, Harald (1989), „Wykresy hiperboliczne z płaszczyzn hiperbolicznych”, Congressus Numerantium , 68 : 23–43, MR 0995852 . Cytowane przez Grünbauma (2009) .
•    Grünbaum, Branko (2009), Konfiguracje punktów i linii , Studia podyplomowe z matematyki , tom. 103, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , doi : 10.1090/gsm/103 , ISBN 978-0-8218-4308-6 , MR 2510707
•   Grünbaum, Branko ; Rigby, JF (1990), „Prawdziwa konfiguracja (21 ₄ )”, Journal of the London Mathematical Society , druga seria, 41 (2): 336–346, doi : 10.1112 / jlms / s2-41.2.336 , MR 1067273
• Klein, Felix (1879), „Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen” , Mathematische Annalen , 14 (3): 428–471, doi : 10.1007/BF01677143 . Przetłumaczone na język angielski przez Silvio Levy jako   Klein, Felix (1999), „O transformacji funkcji eliptycznych rzędu siódmego”, The Eightfold Way , Publikacje Instytutu Nauk Matematycznych, tom. 35, Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press, s. 287–331, MR 1722419