Konfiguracja Kummera
W geometrii konfiguracja Kummera , nazwana na cześć Ernsta Kummera , jest geometryczną konfiguracją 16 punktów i 16 płaszczyzn, tak że każdy punkt leży na 6 płaszczyznach, a każda płaszczyzna zawiera 6 punktów. Co więcej, każda para punktów styka się z dokładnie dwiema płaszczyznami, a każde dwie płaszczyzny przecinają się dokładnie w dwóch punktach. Konfiguracja jest zatem dwupłatowcem , a konkretnie konstrukcją 2-(16,6,2). 16 węzłów i 16 tropów powierzchni Kummera tworzy konfigurację Kummera.
Istnieją trzy różne nieizomorficzne sposoby wybrania 16 różnych 6-zbiorów z 16 elementów spełniających powyższe właściwości, czyli utworzenie dwupłatowca. Najbardziej symetryczną z tych trzech jest konfiguracja Kummera, nazywana także „najlepszym dwupłatowcem” w 16 punktach.
Budowa
Postępując zgodnie z metodą Jordana (1869), ale patrz także Assmus i Sardi (1981), ułóż 16 punktów (powiedzmy liczby od 1 do 16) na siatce 4x4. Dla każdego elementu po kolei weź 3 inne punkty w tym samym rzędzie i 3 inne punkty w tej samej kolumnie i połącz je w zestaw 6. Tworzy to jeden 6-elementowy blok dla każdego punktu.
Rozważ dwa punkty w tym samym wierszu lub kolumnie. Istnieją dwa inne punkty w tym wierszu lub kolumnie, które pojawiają się w blokach dla obu punktów początkowych, dlatego te bloki przecinają się w dwóch punktach. Rozważmy teraz dwa punkty, które nie znajdują się w tym samym rzędzie lub kolumnie. Odpowiednie bloki przecinają się w dwóch punktach, które tworzą prostokąt z dwoma punktami początkowymi. Zatem wszystkie bloki przecinają się w dwóch punktach. Badając bloki odpowiadające tym punktom przecięcia, widać, że dowolne dwa punkty początkowe są obecne w dwóch blokach.
Automorfizmy
Istnieje dokładnie 11520 permutacji 16 punktów, które dają te same bloki. Dodatkowo zamiana etykiet bloków na etykiety punktów daje kolejny automorfizm o rozmiarze 2, co daje 23040 automorfizmów.