Konfiguracja Hessego

Konfiguracja Hessego z czterema liniami (czterema łamanymi przekątnymi układu punktów 3 × 3) narysowanymi jako krzywe

W geometrii konfiguracja Hessego , wprowadzona przez Colina Maclaurina i zbadana przez Hessego ( 1844 ), to konfiguracja 9 punktów i 12 linii z trzema punktami na linię i czterema liniami przechodzącymi przez każdy punkt. Może być zrealizowany na zespolonej płaszczyźnie rzutowej jako zbiór punktów przegięcia krzywej eliptycznej , ale nie ma realizacji na płaszczyźnie euklidesowej .

Opis

Konfiguracja Hessego ma takie same relacje padania jak linie i punkty płaszczyzny afinicznej nad polem 3 elementów . Oznacza to, że punkty konfiguracji Hessego można identyfikować za pomocą uporządkowanych par liczb modulo 3, a linie konfiguracji można odpowiednio identyfikować za pomocą trójek punktów ( x , y ) spełniających równanie liniowe ax + by = c ( mod 3) . Alternatywnie, punkty konfiguracji można zidentyfikować za pomocą kwadratów a do gry w kółko i krzyżyk , a linie można utożsamiać z liniami i łamanymi przekątnymi planszy.

Każdy punkt należy do czterech linii: w interpretacji konfiguracji w kółko i krzyżyk jedna linia jest pozioma, jedna pionowa, a dwie to przekątne lub łamane przekątne. Każda linia zawiera trzy punkty. W języku konfiguracji konfiguracja Hesse ma notację 9 ₄ 12 ₃ , co oznacza, że ​​jest 9 punktów, 4 linie na punkt, 12 linii i 3 punkty na linię.

Konfiguracja Hesji ma 216 symetrii (jej grupa automorfizmów ma rząd 216). Grupa jego symetrii jest znana jako grupa Hessego .

Powiązane konfiguracje

Usunięcie dowolnego punktu i jego czterech linii padających z konfiguracji Hessego daje inną konfigurację typu 8 ₃ 8 ₃ , konfigurację Möbiusa – Kantora .

W konfiguracji Hessego 12 linii można pogrupować w cztery trójki równoległych (nie przecinających się) linii. Usunięcie z konfiguracji Hessego trzech linii należących do pojedynczej trójki daje konfigurację typu 9 ₃ 9 ₃ , konfigurację Pappusa .

Konfigurację Hessego można z kolei rozszerzyć, dodając cztery punkty, po jednym dla każdej trójki nieprzecinających się linii, i jedną linię zawierającą cztery nowe punkty, tworząc konfigurację typu 13 4 13 4 , _zbiór punktów _i linii płaszczyzna rzutowa na trzyelementowe pole.

Realizowalność

Konfigurację Hessego można zrealizować na złożonej płaszczyźnie rzutowej jako 9 punktów przegięcia krzywej eliptycznej i 12 linii przechodzących przez potrójne punkty przegięcia. Jeśli dany zbiór dziewięciu punktów na płaszczyźnie zespolonej jest zbiorem przegięć krzywej eliptycznej C , to jest to również zbiorem przegięć każdej krzywej w ołówku krzywych generowanych przez C i przez krzywą Hesji C , hesja ołówek .

Wielościan Hesji jest reprezentacją konfiguracji Hesji na płaszczyźnie zespolonej.

Konfiguracja Hessego ma wspólną z konfiguracją Möbiusa-Kantora właściwość posiadania złożonej realizacji, ale nie jest możliwa do zrealizowania przez punkty i linie proste na płaszczyźnie euklidesowej . W konfiguracji Hessego co dwa punkty są połączone linią konfiguracji (właściwość definiująca konfiguracje Sylwestra-Gallaia ), a zatem każda linia przechodząca przez dwa jej punkty zawiera trzeci punkt. Ale na płaszczyźnie euklidesowej każdy skończony zbiór punktów jest albo współliniowy, albo zawiera parę punktów, których linia nie zawiera żadnych innych punktów zbioru; to jest twierdzenie Sylwestra-Gallaja . Ponieważ konfiguracja Hessego jest sprzeczna z twierdzeniem Sylwestra-Gallaia, nie ma realizacji euklidesowej. Ten przykład pokazuje również, że twierdzenia Sylwestra-Gallaja nie można uogólnić na zespoloną płaszczyznę rzutową. Jednak w złożonych przestrzeniach konfiguracja Hessego i wszystkie konfiguracje Sylvester-Gallai muszą leżeć w dwuwymiarowej płaskiej podprzestrzeni.