Elipsa Steinera

Elipsa Steinera trójkąta równoramiennego . Trzy segmenty linii wewnątrz trójkąta to środkowe trójkąta , z których każdy przecina bok na pół. Środkowe pokrywają się w środku trójkąta , który jest jednocześnie środkiem elipsy Steinera.

W geometrii elipsa Steinera trójkąta , zwana także elipsą otaczającą Steinera , aby odróżnić ją od elipsy Steinera , jest unikalną elipsą otaczającą ( elipsa dotykająca wierzchołków trójkąta ) , której środkiem jest środek ciężkości trójkąta . Nazwany na cześć Jakoba Steinera , jest przykładem okolostożkowego . Dla porównania okrąg trójkąta to inny okrąg, który dotyka trójkąta w jego wierzchołkach, ale nie jest wyśrodkowany w środku trójkąta, chyba że trójkąt jest równoboczny .

równe polu trójkąta razy od pola inelipsa Steinera. Elipsa Steinera ma najmniejszy obszar ze wszystkich elips opisanych wokół trójkąta.

Elipsa Steinera to przeskalowana elipsa Steinera (współczynnik 2, środek to środek ciężkości). Stąd obie elipsy są podobne (mają taką samą ekscentryczność ).

Nieruchomości

Elipsa Steinera trójkąta równobocznego (po lewej) i równoramiennego
  • jedyną środek trójkąta i Pole elipsy Steinera to -krotność pola trójkąta.
Dowód

A) Dla trójkąta równobocznego elipsa Steinera jest okręgiem opisanym na okręgu , który jest jedyną elipsą spełniającą warunki wstępne. Żądana elipsa musi zawierać trójkąt odbity w środku elipsy. Dotyczy to okręgu opisanego. Stożek określony przez 5 punktów. Stąd okrąg opisany jest jedyną elipsą Steinera.

B) Ponieważ dowolny trójkąt jest afinicznym obrazem trójkąta równobocznego, elipsa jest afinicznym obrazem okręgu jednostkowego, a środek ciężkości trójkąta jest odwzorowywany na środek ciężkości trójkąta obrazu, właściwość (unikatowa elipsa otaczająca z środkiem ciężkości jako środek) jest prawdziwe dla dowolnego trójkąta.

Pole okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to -krotność pola trójkąta. Mapa afiniczna zachowuje proporcje obszarów. Stąd stwierdzenie dotyczące stosunku jest prawdziwe dla dowolnego trójkąta i jego elipsy Steinera.

Wyznaczanie punktów sprzężonych

Elipsę można narysować (komputerowo lub ręcznie), jeśli poza środkiem znane są co najmniej dwa punkty sprzężone na średnicach sprzężonych. W tym przypadku

  • albo jeden określa na podstawie konstrukcji Rytza wierzchołki elipsy i rysuje elipsę za pomocą odpowiedniego kompasu elipsy
  • lub używa reprezentacji parametrycznej do rysowania elipsy.



Etapy określania punktów sprzężonych na elipsie Steinera: 1) przekształcenie trójkąta w trójkąt równoramienny ) określenie punktu , który jest sprzężony z ( 1–5) ) elipsa ze sprzężonymi półśrednicami

będzie i . Odwzorowanie ścinania z osią przez równoległą trójkąt w trójkąt równoramienny (patrz schemat). punkt jest wierzchołkiem elipsy Steinera trójkąta . Drugi wierzchołek na ponieważ do ​​( podstawie danych (elipsa ze do i , ) przez obliczenie . Okazało się, że

Lub rysując : Używając metody la Hire'a środkowy diagram) wierzchołek trójkąta

Mapowanie odwrotnego ścinania odwzorowuje z powrotem do a punkt , ponieważ jest to punkt na osi ścinania. Stąd półśrednica jest sprzężona z .

Za pomocą tej pary sprzężonych półśrednic można narysować elipsę ręcznie lub komputerowo.

Reprezentacja i równanie parametryczne

Elipsa Steinera trójkąta zawierająca osie i wierzchołki (fioletowy)


Biorąc pod uwagę: trójkąt Poszukiwane: Reprezentacja parametryczna i równanie jej elipsy Steinera

Środek ciężkości trójkąta to

Reprezentacja parametryczna:

Z badania poprzedniej sekcji otrzymujemy następującą reprezentację parametryczną elipsy Steinera:

  • } π \ gdzie pochodzi z
z (patrz elipsa ).

Role punktów do wyznaczania reprezentacji parametrycznej można zmieniać.

Przykład (patrz diagram): .

Elipsa Steinera jako przykład „równania”

Równanie:

Jeśli początkiem jest środek ciężkości trójkąta (środek elipsy Steinera), równanie odpowiadające reprezentacji parametrycznej jest

z .

Przykład: środek ciężkości trójkąta to początek układu współrzędnych. Z wektorów otrzymujemy równanie elipsy Steinera:

Wyznaczanie półosi i mimośrodowości liniowej

Jeśli wierzchołki są już znane (patrz wyżej), można określić półosie. Jeśli interesują Cię tylko osie i mimośród, bardziej odpowiednia jest następująca metoda:

Niech będą półosiami elipsy Steinera. Z twierdzenia Apoloniusza o własnościach sprzężonych półśrednic elips otrzymujemy:

równań odpowiednio przez i układu nieliniowego (z poszanowaniem prowadzi do: N

Rozwiązanie dla b daje półosie : za { \ displaystyle a} i b {\ displaystyle b}

gdzie .

Mimośród liniowy elipsy Steinera wynosi

i obszar

nie należy mylić innymi znaczeniami w

Równanie trójliniowe

Równanie elipsy wokół Steinera we współrzędnych trójliniowych to

dla długości boków a, b, c .

Alternatywne obliczanie półosi i mimośrodowości liniowej

Półosie duże i małe (trójkąta o bokach długości a, b, c) mają długości

i ogniskowej

Gdzie

Ogniska nazywane są punktami Bickarta trójkąta.

Zobacz też

  •   Georg Glaeser, Hellmuth Stachel, Boris Odehnal: The Universe of Conics , Springer 2016, ISBN 978-3-662-45449-7 , s.383