Punkty Padwy

W wielomianowej interpolacji dwóch zmiennych punkty Padwy są pierwszym znanym przykładem (i jak dotąd jedynym) jednorozpuszczalnego zbioru punktów (to znaczy interpolujący wielomian jest unikalny) przy minimalnym wzroście ich stałej Lebesgue'a , udowodniono, że jest ${\ Displaystyle O (\ log ^ {2} n)}$ . Swoją nazwę zawdzięczają Uniwersytetowi w Padwie , gdzie zostały pierwotnie odkryte.

Punkty są zdefiniowane w dziedzinie ${\ Displaystyle [-1,1] \ razy [-1,1] \ podzbiór \ mathbb {R} ^ {2 }}$ . Możliwe jest wykorzystanie punktów o czterech orientacjach, uzyskanych po kolejnych obrotach o 90 stopni: w ten sposób otrzymujemy cztery różne rodziny punktów padewskich.

Cztery rodziny

Punkty padewskie pierwszej rodziny i stopnia 5, wykreślone wraz z ich krzywą generującą.

Punkty Padwy pierwszej rodziny i stopnia 6, wykreślone z ich krzywą generującą.

Możemy postrzegać punkt Padwy jako „ próbkę ” krzywej parametrycznej , zwanej krzywą generowania , która jest nieco inna dla każdej z czterech rodzin, tak że punkty dla stopnia interpolacji $n}$ rodziny $s}$${\ displaystyle$ można zdefiniować jako

${\ Displaystyle {\ text {Pad}} _ {n} ^ {s} = \ lbrace \ mathbf {\ xi} = (\ xi _ {1}, \ xi _ {2}) \ rbrace = \ lewo \ lbrace \gamma _{s}\left({\frac {k\pi }{n(n+1)}}\right),k=0,\ldots,n(n+1)\right\rbrace .}$

W rzeczywistości punkty Padwy leżą dokładnie na własnych przecięciach krzywej i na przecięciach krzywej z granicami kwadratu. ${\ Displaystyle [-1,1] ^ {2}}$ . Liczność zbioru $s}}$ { to ${\ textstyle |\ operatorname {pad} _ {n} ^ {s} | = {\ frac {(n + 1) (n + 2)} {2}}}$ . Ponadto dla każdej rodziny punktów padewskich dwa punkty leżą na kolejnych wierzchołkach kwadratu ${\ Displaystyle [-1,1] ^ {2}}$ , ${\ Displaystyle 2n-1 }$ punkty leżą na krawędziach kwadratu, a pozostałe punkty leżą na samoprzecięciach krzywej generującej wewnątrz kwadratu.

Cztery krzywe generujące są $zamkniętymi$ parametrycznymi w przedziale przypadkiem Lissajous

Pierwsza rodzina

Krzywa generująca punkty Padwy pierwszej rodziny to

${\ Displaystyle \ gamma _ {1} (t) = [- \ cos ((n + 1) t), - \ cos (nt)] \ quad t \ w [0, \ pi].}$

Jeśli próbkujemy to tak, jak napisano powyżej, mamy:

${\ Displaystyle \ OperatorName {Pad} _ {n} ^ {1} = \ lbrace \ mathbf {\ xi} = (\ mu _ {j}, \ eta _ {k}), 0\ równoważnik j\ równoważnik n;1 \ równoważnik k\ równoważnik \lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor +1+\delta _{j}\rbrace ,}$

gdzie $Displaystyle \ delta _ {j} = 0}$$\$ kiedy $\ delta _ {j} = 1,$ ale jest parzysta, $Displaystyle$$k}$ i k $displaystyle$ są nieparzyste

z

${\ Displaystyle \ mu _ {j} = \ cos \ lewo ({\ Frac {j \ pi}} {n}} \ prawej), \ eta _ {k} = {\ rozpocząć {przypadki} \ cos \ lewo ({{ \frac {(2k-2)\pi }{n+1}}\right)&j{\mbox{nieparzysty}}\\\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{n+ 1}}\right)&j{\mbox{ parzyste.}}\end{przypadki}}}$

$nieparzysta$ rodziny będą miały dwa wierzchołki na dole, jeśli $parzysta$ , lub po lewej stronie, jeśli jest .

Druga rodzina

Krzywa generująca punkty Padwy drugiej rodziny to

${\ Displaystyle \ gamma _ {2} (t) = [- \cos(nt),-\cos((n+1)t)],\quad t\in [0,\pi ],}$

co prowadzi do posiadania wierzchołków po lewej stronie, jeśli $jeśli$ parzysta, a na dole, $.$ nieparzysta

Trzecia rodzina

Krzywa generująca punkty Padwy trzeciej rodziny to

${\ Displaystyle \ gamma _ {3} (t) = [\ cos ( (n+1)t),\cos(nt)],\quad t\w [0,\pi ],}$

$.$ górze, jeśli $jest$ parzysta, a po prawej stronie, jeśli nieparzysta

Czwarta rodzina

Krzywa generująca punkty Padwy czwartej rodziny to

${\ Displaystyle \ gamma _ {4} (t) = [\ cos ( nt),\cos((n+1)t)],\quad t\in [0,\pi ],}$

co prowadzi do posiadania wierzchołków po prawej stronie, jeśli $jeśli$ parzysta, a na górze, $.$ nieparzysta

Formuła interpolacji

Wyraźna reprezentacja ich podstawowego wielomianu Lagrange'a jest oparta na odtwarzającym się jądrze ${\ Displaystyle K_ {n} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y})}$ , ${\ Displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, x_ {2})}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {y} = (y_ {1}, y_ { 2})}$ , z przestrzeń ${\ Displaystyle \ Pi _ {n} ^ {2} ([-1,1] ^ {2})}$ wyposażony w iloczyn wewnętrzny

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = {\ Frac {1} {\ pi ^ {2}}} \ int _ {[-1,1] ^ {2}} f (x_ {1}, x_ { 2})g(x_{1},x_{2}){\frac {dx_{1}}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}}{\frac {dx_{2}} {\sqrt {1-x_{2}^{2}}}}}$

określony przez

${\ Displaystyle K_ {n} (\ mathbf {x}, \ mathbf {y}) = \ suma _ {k = 0} ^ {n} \ suma _ {j = 0} ^ {k} {\ kapelusz {T }}_ {j}(x_{1}){\kapelusz {T}}_{kj}(x_{2}){\kapelusz {T}}_{j}(y_{1}){\kapelusz { T}}_{kj}(y_{2})}$

z reprezentującym znormalizowany wielomian Czebyszewa stopnia (to znaczy $T$$}$${T}$${\ Displaystyle {\ hat {T}} _ {j}$$}} _ {p} = {\ sqrt {2}} T_ {p}}$ \ Displaystyle {\ kapelusz T ${\ Displaystyle T_ {p} (\ cdot) = \ cos (p \ arccos (\ cdot)}}$ jest klasycznym wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju stopnia ${\ displaystyle p}$ ). Dla czterech rodzin punktów Padwy, które możemy oznaczyć przez ${\ Displaystyle \ operatorname {Pad} _ {n} ^ {s} = \ lbrace \ mathbf { \xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace }$ , ${\ Displaystyle s = \ lbrace 1,2,3,4 \ rbrace}$ , wzór interpolacji rzędu ${\ Displaystyle n}$ funkcji ${\ Displaystyle f \ okrężnica [-1,1] ^ {2} \ do \ mathbb {R} ^ {2}}$ na ogólny punkt docelowy ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ w [-1,1] ^ {2}}$ jest wtedy

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {n} ^ {s} f (\ mathbf {x}) =\sum _{\mathbf {\xi} \in \operatorname {Pad} _{n}^{s}}f(\mathbf {\xi} )L_{\mathbf {\xi} }^{s}( \mathbf {x} )}$

gdzie ${\ Displaystyle L _ {\ mathbf {\ xi}} ^ {s} (\ mathbf {x})}$ jest podstawowym wielomianem Lagrange'a

${\ Displaystyle L _ {\ mathbf {\ xi}} ^ {s} (\ mathbf {x}) = w _ {\ mathbf {\ xi}} (K_ {n} (\ mathbf {\ xi} \ mathbf {x } )-T_{n}(\xi _{i})T_{n}(x_{i})),\quad s=1,2,3,4,\quad i=2-(s\mod 2 ).}$

Wagi są zdefiniowane jako ${\ displaystyle w _ {\ mathbf {\ xi}}}$

${\ Displaystyle w _ {\ mathbf {\ xi}} = {\ Frac {1} {n (n + 1)}} \ cdot {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1} {2}} {\ text { if }}\mathbf {\xi } {\text{jest wierzchołkiem}}\\1{\text{if }}\mathbf {\xi} {\text{jest punktem krawędziowym}}\\2{\ text{ if }}\mathbf {\xi} {\text{ jest punktem wewnętrznym.}}\end{przypadki}}}$

Linki zewnętrzne

• Lista publikacji związanych z punktami Padwy i niektórymi programami interpolacyjnymi .