Stała Lebesgue'a

W matematyce stałe Lebesgue'a ( zależne od zbioru węzłów i jego wielkości) dają wyobrażenie o tym, jak dobry jest interpolant funkcji (w danych węzłach) w porównaniu z najlepszym wielomianowym przybliżeniem funkcji (stopień wielomiany są ustalone). Stała Lebesgue'a dla wielomianów stopnia co najwyżej n i dla zbioru n + 1 węzłów T jest ogólnie oznaczana przez Λ _n ( T ) . Stałe te zostały nazwane na cześć Henriego Lebesgue'a .

Definicja

Naprawiamy węzły interpolacji ${\ Displaystyle x_ {0}, ..., x_ {n}}$ i interwał ${\ Displaystyle [a, \, b]}$ zawierający wszystkie węzły interpolacji Proces $odwzorowuje$$wielomian$ na . To definiuje odwzorowanie $($ przestrzeni C [ a , b ]) wszystkich funkcji ciągłych na [ a , b ] do siebie. Mapa X jest liniowa i jest rzutem na podprzestrzeń Π _n wielomianów stopnia n lub mniejszego.

Stała $_$ norma X . _ _ Ta definicja wymaga od nas określenia normy na C ([ a , b ]). Jednolita norma jest zwykle najwygodniejsza.

Nieruchomości

Stała Lebesgue'a ogranicza błąd interpolacji: niech p ^∗ oznacza najlepsze przybliżenie f spośród wielomianów stopnia n lub mniejszego. Innymi słowy, p ^∗ minimalizuje || p − fa || wśród wszystkich p w Π _n . Następnie

${\ Displaystyle \|fX (f) \|\ równoważnik (\ Lambda _ {n} (T) + 1) \ lewo \| fp ^ {*} \ prawo \ |.}$

Udowodnimy tutaj to stwierdzenie z maksymalną normą.

${\ Displaystyle \|fX (f) \|\ równoważnik \|fp ^ {*} \|+\| p^{*}-X(f)\|}$

przez nierówność trójkąta . Ale X jest rzutem na Π _n , więc

p ^∗ - X ( fa ) = X ( p ^∗ ) - X ( fa ) = X ( p ^∗ - fa ) .

To kończy dowód, ponieważ ${\ Displaystyle \| X (p ^ {*} -f) \ |\leq \|X\|\|p^{*}-f\|=\|X\|\|fp^{*}\|}$ . Zauważ, że ta relacja jest również szczególnym przypadkiem lematu Lebesgue'a .

Innymi słowy, wielomian interpolacyjny jest co najwyżej o czynnik Λ _n ( T ) + 1 gorszy od najlepszego możliwego przybliżenia. Sugeruje to, że szukamy zbioru węzłów interpolacji z małą stałą Lebesgue'a.

Stałą Lebesgue'a można wyrazić za pomocą wielomianów bazowych Lagrange'a :

${\ Displaystyle \ ell _ {j} (x): = \ prod _ {\ rozpocząć {mała macierz} i = 0 \\ j \ neq i \ koniec {mała macierz}} ^ {n} {\ Frac {x-x_ { i}}{x_{j}-x_{i}}}.}$

W rzeczywistości mamy funkcję Lebesgue'a

${\ Displaystyle \ lambda _ {n} (x) = \ suma _ {j = 0} ^ {n} | \ ell _ {j} (x) |.}$

a stała Lebesgue'a (lub liczba Lebesgue'a) dla siatki jest jej wartością maksymalną

${\ Displaystyle \ Lambda _ {n} (T) = \ max _ {x \ w [a, b]} \ lambda _ {n }(X)}$

Niemniej jednak nie jest łatwo znaleźć jednoznaczne wyrażenie dla Λ _n ( T ) .

Minimalne stałe Lebesgue'a

W przypadku równoodległych węzłów stała Lebesgue'a rośnie wykładniczo . Dokładniej, mamy następujące oszacowanie asymptotyczne

${\ Displaystyle \ Lambda _ {n} (T) \ sim {\ Frac {2 ^ {n + 1}} {en \ log n}} \ qquad {\ tekst {jak}} n \ do \ infty.}$

Z drugiej strony stała Lebesgue'a rośnie tylko logarytmicznie, jeśli używane są węzły Czebyszewa , ponieważ mamy

${\ Displaystyle {\ tfrac {2} {\ pi}} \ log (n+1)+a<\Lambda _{n}(T)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+1,\qquad a=0,9625\ldots}$

Ponownie dochodzimy do wniosku, że węzły Czebyszewa są bardzo dobrym wyborem do interpolacji wielomianowej. Istnieje jednak łatwa (liniowa) transformacja węzłów Czebyszewa, która daje lepszą stałą Lebesgue'a. Niech t _i oznacza i -ty węzeł Czebyszewa. Następnie zdefiniuj

${\ Displaystyle s_ {i} = {\ Frac {t_ {i}} {\ cos \ lewo ({\ Frac {\ pi} {2 (n + 1)}} \ prawej)}}.}$

Dla takich węzłów:

${\ Displaystyle \ Lambda _ {n} (S) <{\ tfrac {2} {\ pi}} \ log (n +1)+b,\qquad b=0,7219\ldots }$

Węzły te nie są jednak optymalne (tj. nie minimalizują stałych Lebesgue'a), a poszukiwanie optymalnego zbioru węzłów (który już przy pewnych założeniach okazał się unikalny) jest nadal intrygującym tematem współczesnej matematyki. Jednak ten zestaw węzłów jest optymalny do interpolacji po zbiorze n razy różniczkowalnych funkcji, których n -te pochodne do ${\ Displaystyle C_ {M} ^ {n} [-1,1]$ są ograniczone w wartościach bezwzględnych przez stałą M jak pokazuje NS Hoang. Za pomocą komputera można przybliżyć wartości minimalnych stałych Lebesgue'a, tutaj dla przedziału kanonicznego [−1, 1] :

N	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Λ n ( T )	1.0000	1.2500	1.4229	1,5595	1,6722	1.7681	1.8516	1,9255	1.9917

Istnieje niezliczona liczba nieskończenie wielu zbiorów węzłów w [-1,1], które minimalizują, dla ustalonego n > 1, stałą Lebesgue'a. Chociaż jeśli założymy, że zawsze przyjmujemy −1 i 1 jako węzły do ​​interpolacji (co nazywa się kanoniczną konfiguracją węzłów), to taki zbiór jest unikalny i zero-symetryczny. Aby zilustrować tę właściwość, zobaczymy, co się stanie, gdy n = 2 (tj. rozważymy 3 węzły interpolacji, w którym to przypadku właściwość nie jest trywialna). Można sprawdzić, że każdy zbiór (zerowo-symetrycznych) węzłów typu (− a , 0, a ) jest optymalny, gdy √ 8 / 3 ≤ a ≤ 1 (rozważamy tylko węzły w [−1, 1]). Jeśli wymusimy, aby zbiór węzłów był typu (−1, b , 1) , to b musi być równe 0 (spójrz na funkcję Lebesgue'a, której maksimum jest stałą Lebesgue'a). Wszystkie dowolne (tj. zero-symetryczne lub zero-asymetryczne) optymalne zbiory węzłów w [−1,1], gdy n = 2 zostały określone przez F. Schurera, a alternatywnie przez H.-J. Rack i R. Vajda (2014).

Jeśli założymy, że przyjmujemy −1 i 1 jako węzły do ​​interpolacji, to jak pokazuje H.-J. Rack (1984 i 2013), dla przypadku n = 3, znane są jawne wartości optymalnych (unikatowych i zero-symetrycznych) 4 węzłów interpolacji oraz jawna wartość minimalnej stałej Lebesgue'a. Wszystkie arbitralne zestawy optymalne 4 węzłów interpolacji w [1,1], gdy n = 3 zostały wyraźnie określone, na dwa różne, ale równoważne sposoby, przez H.-J. Rack i R. Vajda (2015).

Punkty Padewskie zapewniają kolejny zestaw węzłów o powolnym wzroście (choć nie tak powolnym jak węzły Czebyszewa) iz dodatkową właściwością bycia jednorozpuszczalnym zbiorem punktów .

Czułość wartości wielomianu

Stałe Lebesgue'a pojawiają się również w innym problemie. Niech p ( x ) będzie wielomianem stopnia n wyrażonym w postaci Lagrange'a związanej z punktami wektora t (tzn. wektor u jego współczynników jest wektorem zawierającym wartości ${\ Displaystyle p (t_ { i})}$ ). niech ${\ Displaystyle {\ kapelusz {p}} (x)}$ będzie wielomianem uzyskanym przez nieznaczną zmianę współczynników u pierwotnego wielomianu p ( x ) na ${\ Displaystyle {\ hat {u}}}$ . Rozważ nierówność:

${\ Displaystyle {\ Frac {\| p - {\ kapelusz {p}} \ |} {\ | p \ |}}\leq \Lambda _{n}(T){\frac {\|u-{\kapelusz {u}}\|}{\|u\|}}}$

$, że ($ błąd wartości nie będzie wyższy niż odpowiednia stała Lebesgue'a współczynników. W tym sensie stałą Lebesgue'a można postrzegać jako względny numer warunku operatora odwzorowującego każdy wektor współczynników u na zbiór wartości wielomianu o współczynnikach u w postaci Lagrange'a. Właściwie możemy zdefiniować taki operator dla każdej bazy wielomianu, ale jego numer warunku jest większy niż optymalna stała Lebesgue'a dla najwygodniejszych baz.

•   Brutman, L. (1997), „Funkcje Lebesgue'a dla interpolacji wielomianowej - ankieta”, Annals of Numerical Mathematics , 4 : 111–127, ISSN 1021-2655
•   Smith, Simon J. (2006), „Stałe Lebesgue'a w interpolacji wielomianowej” (PDF) , Annales Mathematicae et Informaticae , 33 : 109–123, ISSN 1787-5021
•   Ibrahimoglu, Bayram Ali (2016), „Funkcje Lebesgue'a i stałe Lebesgue'a w interpolacji wielomianowej”, Journal of Inequalities and Applications , 2016 : 2016: 93, doi : 10.1186/s13660-016-1030-3 , ISSN 1029-242X
•   Rack, H.-J. (1984), „Przykład optymalnych węzłów do interpolacji” , International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 15 (3): 355–357, doi : 10.1080/0020739840150312 , ISSN 1464-5211
•    Rack, H.-J. (2013), „Przykład optymalnych węzłów do ponownej interpolacji”, Advances in Applied Mathematics and Approximation Theory , Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 41 : 117–120, doi : 10.1007/978-1-4614-6393-1_7 , ISBN 978-1-4614-6392-4 , ISSN 2194-1009
•    Rack, H.-J.; Vajda, R. (2014), „O optymalnej kwadratowej interpolacji Lagrange'a: ekstremalne systemy węzłów z minimalną stałą Lebesgue'a poprzez obliczenia symboliczne” , Serdica Journal of Computing , 8 : 71–96, doi : 10.55630/sjc.2014.8.71-96 , ISSN 1312-6555 , S2CID 55568122
•   Rack, H.-J.; Vajda, R. (2015), „O optymalnej sześciennej interpolacji Lagrange'a: systemy węzłów ekstremalnych z minimalną stałą Lebesgue'a” (PDF) , Studia Universitatis Babeş-Bolyai Mathematica , 60 (2): 151–171, ISSN 0252-1938
•   Schurer, F. (1974), „Uwaga o zbiorach ekstremalnych w teorii interpolacji wielomianowej”, Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica , 9 : 77–79, ISSN 0081-6906
• Hoang, NS (2013), O rozkładzie węzłów dla metod interpolacji i spektralnych. , arXiv : 1305.6104 , Bibcode : 2013arXiv1305.6104H

• stałe Lebesgue'a , .

• Bayram Ali ( 2016 ) , „Funkcje Lebesgue'a i w interpolacji wielomianowej ”