Pushforward (homologia)

W topologii $_ \displaystyle f_{*}:H_{n}\left(X\right)\rightarrow H_{n}\left(Y\right)}$ przesunięcie przodu funkcji ciągłej dwiema przestrzeniami jest homomorfizmem $:$ $)$ ( między grupami homologii dla ${\ displaystyle n \ geq 0}$ .

Homologia $który$ funktor przekształca przestrzeń $topologiczną$ grup $ma$ zbiór wszystkich takich grup jest określany przy użyciu notacji ; strukturę stopniowanego pierścienia .) W , funktor musi indukować odpowiedni morfizm . Pushforward to morfizm odpowiadający funktorowi homologii.

Definicja homologii pojedynczej i uproszczonej

Budujemy homomorfizm pushforward w następujący sposób (dla homologii pojedynczej lub uproszczonej):

Najpierw mamy indukowany homomorfizm między pojedynczym lub uproszczonym ${\ Displaystyle C_ {n} \ lewo (Y \ prawej)}$ łańcuchowym i do ${\ Displaystyle C_ {n} \ lewo (X \ prawej)}$ do zdefiniowane przez złożenie każdego pojedynczego n - simpleks ${\ Displaystyle \ sigma _ {X}}$ : ${\ Displaystyle \ Delta ^ {n} \ rightarrow X}$ z ${\ Displaystyle f}$ aby uzyskać liczbę pojedynczą n - simpleks z ${\ Displaystyle Y}$ , ${\ Displaystyle f _ {\ #} \ lewo (\ sigma _ {X} \ prawej) = f \ sigma _ {X}}$ : ${\ Displaystyle \ Delta ^ {n} \ rightarrow Y}$ . rozszerzamy przez $_$ ${\ Displaystyle f_ {\ #} \ lewo (\ suma _ {t} n_ {t} \ sigma _ {t} \ prawej) = \ suma _ {t} n_ {t} f_{\#}\left(\sigma _{t}\right)}$ .

mapy ${\ Displaystyle f_ {\ #}}$ : $)}$ ${\ Displaystyle C_ {n} \ lewo (X \ prawo) \ strzałka w prawo C_ {n} \ lewo (Y \$ $gdzie$ spełniają ${\ Displaystyle f_ {\ #} \ częściowe = \ częściowe f_ {\ #}}$ jest operatorem granicznym między grupami łańcuchowymi, więc ${\ Displaystyle \ częściowe f_ {\ #}}$ definiuje mapę łańcucha .

Mamy to, że przyjmuje cykle $\partial f_{\#}\left(\alpha \right)=f_{\#}\left(\partial \alpha \right)=0$ , ponieważ implikuje $\partial \alpha =0$ ${ \$ . Also $f_{\#}$ takes boundaries to boundaries since ${\ Displaystyle f_ {\ #} \ lewo (\ częściowe \ beta \ prawo) = \ częściowe f_ {\ #} \ lewo (\ beta \ prawo)}$ .

Stąd ${\ Displaystyle f_ {\ #}}$ indukuje homomorfizm między grupami homologii ${\ Displaystyle f_ {*}: H_ {n} \ lewo (X \ w prawo) \ strzałka w prawo H_ {n} \ lewo (Y \ w prawo)}$ dla ${\ Displaystyle n \ geq 0}$ .

Własności i niezmienność homotopii

Dwie podstawowe właściwości push-forward to:

${\ Displaystyle \ lewo (f \ circ g \ prawo) _ {*} = f_ {*} \ circ g_ {*}}$ dla składu map ${\ Displaystyle X {\ overset {g} {\ rightarrow}} Y {\ overset {f} {\ rightarrow}} Z}$ .
${\ Displaystyle \ lewo ({\ tekst {id}} _ {X} \ prawej) _ {*} = {\ tekst {id}}} gdzie$ id $\ displaystyle {\ tekst { id}} _ {X}}$ : ${\ Displaystyle X \ rightarrow X}$ odnosi się do funkcji tożsamości ${\ Displaystyle X}$ i ${\ Displaystyle {\ text {id}} \ okrężnica H_ {n} \ lewo (X \ prawo) \ rightarrow H_ {n} \ lewo (X \ prawo)} odnosi się do izomorfizmu tożsamości grup homologii$ .

Głównym wynikiem dotyczącym przepychania do przodu jest ${\ Displaystyle f_ {*} = g_ {*} \ dwukropek H_ {n} \ lewo (X \ prawo) \ strzałka w prawo H_ {n} \ lewo (Y \ prawo) }$ homotopii : jeśli dwie mapy są $dwukropek X \ rightarrow Y}$ to indukują ten sam homomorfizm .

To natychmiast implikuje, że grupy homologii równoważnych przestrzeni homotopii są izomorficzne:

fa ${\ Displaystyle f_ {*} \ dwukropek H_ {n} \ lewo (X \ prawo) \ strzałka w prawo H_ {n} \ lewo (Y \ prawo)$ wywołane przez równoważność homotopii są izomorfizmami dla wszystkich $}$ fa $\ Displaystyle f \ okrężnica X \ rightarrow Y$

Allen Hatcher , Topologia algebraiczna. Cambridge University Press, ISBN 0-521-79160-X i ISBN 0-521-79540-0