Równania Chandrasekhara-Page'a

Równania Chandrasekhara – Page'a opisują funkcję falową masywnych cząstek o spinie ½ , co wynikało z poszukiwania rozdzielnego rozwiązania równania Diraca w metryce Kerra lub Kerra – Newmana . W 1976 roku Subrahmanyan Chandrasekhar wykazał, że z równania Diraca w metryce Kerra można otrzymać rozwiązanie dające się rozdzielić . Później Don Page rozszerzył tę pracę na metrykę Kerra-Newmana , która ma zastosowanie do naładowanych czarnych dziur. W swoim artykule Page zauważa, że ​​N. Toop również niezależnie wyprowadził swoje wyniki, o czym poinformował go Chandrasekhar.

Zakładając rozkład w trybie normalnym postaci mi $\ Displaystyle e ^ {i (\ omega t + m \ phi)}}$ dla czasu i składnika azymutalnego sferycznych współrzędnych biegunowych $.$ wykazał, że cztery składowe bispinorowe można wyrazić jako iloczyn funkcji Dwie funkcje promieniowe i kątowe odpowiednio są oznaczone przez ${\ Displaystyle R _ {+ {\ Frac {1} {2}}} (r)}$ , ${\ displaystyle R _ {- {\ Frac {1}{2}}} (r)}$ i ${\ Displaystyle S _ {+ {\ Frac {1} {2}}} (\ teta)}$ , ${\ Displaystyle S _ {- {\ Frac {1} {2}}} (\ teta)}$ . Energia mierzona w nieskończoności wynosi $\$$displaystyle \ omega},$ a osiowy moment pędu to pół liczby całkowitej.

Równania kątowe Chandrasekhara-Page'a

Funkcje kątowe spełniają sprzężone równania wartości własnych,

${\ Displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}S_{+{\frac {1}{2}}}&=-(\lambda -a\mu \cos \theta )S_{-{\frac {1}{2}}},\\{\mathcal {L}}_{\frac {1}{2}}^{\sztylet}S_{-{\frac { 1}{2}}}&=+(\lambda +a\mu \cos \theta )S_{+{\frac {1}{2}}},\end{wyrównane}}}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ Frac {1} {2} }={\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} \theta}}+Q+{\frac {\cot \theta}}{2}},\quad {\mathcal {L}}_{\ frac {1}{2}}^{\sztylet}={\frac {\mathrm {d}}}{\mathrm {d} \theta}}-Q+{\frac {\cot \theta}{2}}}$

i ${\ Displaystyle Q = a \ omega \ sin \ theta + m \ csc \ theta}$ . Tutaj jest $jest$ pędu $na$ jednostkę masy czarnej dziury i masą cząstki. Eliminując między powyższymi dwoma równaniami, otrzymuje się ${\ Displaystyle S_ {+ 1/2} (\ teta)}$

${\ Displaystyle \$

Funkcja $spełnia sprzężone równanie,$${\ Displaystyle \ pi - \ teta}$ można otrzymać z powyższego równania, zastępując - $theta}$ . Warunki brzegowe dla tych równań różniczkowych drugiego rzędu są takie, że ${\ Displaystyle S _ {- {\ Frac {1} {2}}}}$ (i ${\ Displaystyle S_ {+ {\ Frac { 1}{2}}}}$ ) być regularne w ${\ Displaystyle \ theta = 0}$ i ${\ Displaystyle \ theta = \ pi}$ . Przedstawiony tutaj problem wartości własnej wymaga ogólnie całkowania numerycznego, aby został rozwiązany. Jawne rozwiązania są dostępne dla przypadku, w którym ${\ displaystyle \ omega = \ mu}$ .