Równania Zoeppritza

Diagram przedstawiający konwersje trybu , które występują, gdy fala P odbija się od interfejsu z nienormalną częstością

W geofizyce i sejsmologii refleksyjnej równania Zoeppritza to zestaw równań opisujących podział energii fali sejsmicznej na granicy faz w wyniku konwersji trybu . Zostały nazwane na cześć ich autora, niemieckiego geofizyka Karla Bernharda Zoeppritza , który zmarł przed ich opublikowaniem w 1919 roku.

Równania są ważne w geofizyce, ponieważ wiążą amplitudę fali P padającej na interfejs płaszczyzny oraz amplitudę odbitych i załamanych fal P i S z kątem padania . Stanowią one podstawę do badania czynników wpływających na amplitudę powracającej fali sejsmicznej przy zmianie kąta padania — zwanej również analizą amplitudy i offsetu — co jest techniką pomocną w wykrywaniu złóż ropy naftowej .

Równania Zoeppritza nie były pierwszymi, które opisywały amplitudy fal odbitych i załamanych na powierzchni międzyfazowej. Cargill Gilston Knott zastosował podejście oparte na potencjałach prawie 20 lat wcześniej, w 1899 r., aby wyprowadzić równania Knotta . Oba podejścia są poprawne, ale podejście Zoeppritza jest łatwiejsze do zrozumienia.

równania

Równania Zoeppritza składają się z czterech równań z czterema niewiadomymi

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} R _ {\ operatorname {P}} \\ R_ {\ operatorname {S}} \\ T_ {\ operatorname {P}} \\ T_ {\ operatorname {S}} \\\ end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \theta _{1}&-\cos \phi _{1}&\sin \theta _{2}&\cos \phi _{2}\ \\cos \theta _{1}&-\sin \phi _{1}&\cos \theta_{2}&-\sin \phi _{2}\\\sin 2\theta _{1}& {\frac {V_{\mathrm {P1}}}{V_{\mathrm {S1}}}}\cos 2\phi _{1}&{\frac {\rho _{2}V_{\mathrm {S2 } }^{2}V_{\mathrm {P1}}}{\rho _{1}V_{\mathrm {S1} }^{2}V_{\mathrm {P2} }}}\sin 2\theta _ {2}& {\ frac {\ rho _ {2} V_ {\ operatorname {S2}} V_ {\ operatorname {P1}}} {\ rho _ {1} V_ {\ operatorname {S1} } ^ {2} }}\cos 2\phi _{2}\\-\cos 2\phi _{1}&{\frac {V_{\mathrm {S1}}}{V_{\mathrm {P1} }}}\sin 2\phi _{1}&{\frac {\rho _{2}V_{P2}}{\rho _{1}V_{P1}}}\cos 2\phi _{2}&-{\frac {\rho _{2}V_{S2}}{\rho _{1}V_{P1}}}\sin 2\phi _{2}\end{bmatrix}}^{-1}{\begin{bmatrix }\sin \theta _{1}\\\cos \theta_{1}\\\sin 2\theta _{1}\\\cos 2\phi _{1}\\\end{bmatrix}}}$

R _P , R _S , T _P i T _S , to odpowiednio odbite P, odbite S, transmitowane P i transmitowane współczynniki amplitudy fali S = kąt ${\ Displaystyle {\ theta} _ {1}}$ padania, ${\ Displaystyle {\ theta} _ {2}}$ = kąt transmitowanej fali P, ${\ Displaystyle {\ phi} _ {1}}$ = kąt odbitej fali S i ${\ Displaystyle {\ fi} _ {2}}$ = kąt transmitowanej fali S. Odwracając formę macierzową równań Zoeppritza, otrzymujemy współczynniki jako funkcję kąta.

Chociaż cztery równania można rozwiązać dla czterech niewiadomych, nie dają one intuicyjnego zrozumienia, w jaki sposób amplitudy odbicia zmieniają się w zależności od właściwości skały ( gęstość , prędkość itp.). Podjęto kilka prób opracowania przybliżeń równań Zoeppritza, takich jak równania Bortfelda (1961) i Aki i Richardsa (1980), ale najbardziej udanym z nich jest równanie Shueya, które zakłada, że ​​współczynnik Poissona jest właściwością sprężystości najbardziej bezpośrednio związaną do kątowej zależności współczynnika odbicia.

Równanie Shuey'a

3-członowe równanie Shueya można zapisać na wiele sposobów, poniższa jest powszechną postacią:

${\ Displaystyle R (\ teta) = R (0) + G \ sin ^ {2} \ teta +F(\tan ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta )}$

Gdzie

${\ Displaystyle R (0) = {\ Frac {1} {2}} \ lewo ({\ Frac {\ Delta V _ {\ operatorname {P } }}{V_{\mathrm {P}}}}+{\frac {\Delta \rho }{\rho }}\right)}$

I

${\ Displaystyle G = {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {\ Delta V_{\mathrm {P}}}{V_{\namerm {P}}}}-2{\frac {V_{\namehrm {S}}^{2}}{V_{\namehrm {P}}^{ 2}}}\left({\frac {\Delta \rho }{\rho}}+2{\frac {\Delta V_{\mathrm {S}}}{V_{\mathrm {S}}}}\ prawo)}$ ; ${\ Displaystyle F = {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {\ Delta V _ {\ operatorname {P}}} {V_ {\ operatorname {P}}}}}$

gdzie = kąt padania; ${\ displaystyle {\ theta}}$${\ Displaystyle {V_ {p}}}$ = prędkość fali P w ośrodku; ${\ Displaystyle {{\ Delta} V_ {p}}}$ = kontrast prędkości fali P na interfejsie; ${\ Displaystyle {V_ {s}}}$ = prędkość fali S w ośrodku; ${\ Displaystyle {{\ Delta} V_ {s}}}$ = kontrast prędkości fali S na interfejsie; ${\ Displaystyle {\ rho}}$ = gęstość w ośrodku; ${\ Displaystyle {{\ Delta} {\ rho}}}$ = kontrast gęstości w całym interfejsie;

Proponowane lepsze przybliżenie równań Zoeppritza:

${\ Displaystyle R (\ teta) = R (0) -A \ grzech ^ {2} \ teta}$

I

${\ Displaystyle A = 2 {\ Frac {V _ {\ operatorname {S}} ^ {2}} {V _ {\ operatorname { P} }^{2}}}\left({\frac {\Delta \rho }{\rho}}+2{\frac {\Delta V_{\mathrm {S}}}{V_{\mathrm {S } }}}\Prawidłowy)}$

W równaniu Shueya R(0) jest współczynnikiem odbicia przy normalnym padaniu i jest kontrolowany przez kontrast impedancji akustycznych. G, często określane jako gradient AVO, opisuje zmiany amplitud odbicia przy pośrednich przesunięciach, a trzeci człon, F, opisuje zachowanie pod dużymi kątami/dalekimi przesunięciami, które są bliskie kąta krytycznego. Równanie to można dodatkowo uprościć, zakładając, że kąt padania jest mniejszy niż 30 stopni (tj. przesunięcie jest stosunkowo małe), więc trzeci składnik będzie dążył do zera. Tak jest w przypadku większości badań sejsmicznych i daje to „przybliżenie Shueya”:

${\ Displaystyle R (\ teta) = R (0) + G \ sin ^ {2} \ teta}$

Zobacz też

• Amplituda a przesunięcie , praktyczne zastosowanie zjawiska opisanego tymi równaniami.
• Karla Bernharda Zoeppritza

Dalsza lektura

Pełne wyprowadzenie tych równań można znaleźć w większości podręczników geofizyki poszukiwawczej , takich jak:

• Szeryf, RE, Geldart, LP, (1995), wydanie 2. Sejsmologia poszukiwawcza. Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.

Linki zewnętrzne

• Crewes.org