Równania wsteczne Kołmogorowa (dyfuzja)

Równanie wsteczne Kołmogorowa (KBE) (dyfuzja) i jego sprzężenie , czasami nazywane równaniem przednim Kołmogorowa (dyfuzja), to równania różniczkowe cząstkowe (PDE), które pojawiają się w teorii procesów Markowa w stanie ciągłym w czasie ciągłym . Oba zostały opublikowane przez Andrieja Kołmogorowa w 1931 r. Później zdano sobie sprawę, że równanie naprzód było już znane fizykom pod nazwą równanie Fokkera-Plancka ; KBE z drugiej strony był nowy.

Nieformalnie równanie naprzód Kołmogorowa rozwiązuje następujący problem. Mamy informacje o stanie x systemu w czasie t (mianowicie rozkład prawdopodobieństwa ${\ displaystyle p_ {t} (x)}$ ); chcemy znać rozkład prawdopodobieństwa stanu w późniejszym czasie ${\ displaystyle s> t}$ . Przymiotnik „do przodu” odnosi się do faktu, że ${\ Displaystyle p_ {t} (x)}$$, a PDE$ do przodu w czasie (w typowym przypadku, gdy stan początkowy jest dokładnie znany, delta Diraca na znany stan początkowy).

Z drugiej strony równanie wsteczne Kołmogorowa jest przydatne, gdy w chwili t interesuje nas , czy w przyszłości s system znajdzie się w danym podzbiorze stanów B , czasami nazywanym zbiorem docelowym . Cel jest opisany przez daną funkcję $jest$ równa 1, jeśli stan jest w celu ustawionym w czasie s a zero w przeciwnym razie Innymi słowy, ${\ displaystyle u_ {s} (x) = 1_ {B}}$ funkcja wskaźnika dla zestawu B . Chcemy wiedzieć dla każdego stanu x w czasie ${\ Displaystyle t, \ (t <s)}$ jakie jest prawdopodobieństwo znalezienia się w celu ustawionym w czasie s (czasami nazywanym prawdopodobieństwem trafienia) . W tym przypadku $jako$ końcowy warunek PDE, który jest zintegrowany wstecz s do t .

Formułowanie wstecznego równania Kołmogorowa

Załóżmy, że stan systemu ewoluuje zgodnie ze stochastycznym równaniem różniczkowym ${\ displaystyle X_ {t}}$

${\ Displaystyle dX_ {t} = \ mu (X_ {t}, t) \ dt + \ sigma (X_ {t},t)\,dW_{t}\,,}$

to wsteczne równanie Kołmogorowa jest

${\ Displaystyle - {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy t}} p (x, t) = \ mu (x, t) {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} p (x, t) +{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy x^{2}}}p(x,t), }$

dla ${\ Displaystyle t \ równoważnik s}$ , z zastrzeżeniem warunku końcowego ${\ Displaystyle p (x, s) = u_ {s} (x)}$ . Można $za$$pomocą$ Itō na i _

$.$ wyprowadzić ze wzoru Feynmana – Kaca , jest takie samo jak oczekiwana wartość na wszystkich ścieżkach, które pochodzą ze stanu ${\ displaystyle x}$ w czasie ${\ displaystyle t}$ :

${\ Displaystyle \ Pr (X_ {s} \ w B \ mid X_ {t} = x) = E [u_ {s} (x) \ mid X_ {t} = x].}$

Historycznie rzecz biorąc, KBE został opracowany przed formułą Feynmana – Kaca (1949).

Formułowanie równania naprzód Kołmogorowa

Z taką samą notacją jak poprzednio, odpowiednie równanie naprzód Kołmogorowa to

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy s}} p (x, s) = - {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy x}} [\ mu (x, s) p (x, s )]+{\frac {1}{2}}{\frac {\częściowy ^{2}}{\częściowy x^{2}}}[\sigma ^{2}(x,s)p(x, S)],}$

dla ${\ Displaystyle s \ geq t}$ , z warunkiem początkowym ${\ Displaystyle p (x, t) = p_ {t} (x)}$ . Więcej informacji na temat tego równania można znaleźć w równaniu Fokkera – Plancka .

Zobacz też

• Równania Kołmogorowa

• Etheridge, A. (2002). Kurs rachunku finansowego . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge.