Równanie Washburna

W fizyce równanie Washburna opisuje przepływ kapilarny w wiązce równoległych rur cylindrycznych; rozszerza się z pewnymi zagadnieniami również o nasiąkanie w porowatych . Równanie nosi imię Edwarda Wighta Washburna ; znane również jako równanie Lucasa-Washburna , biorąc pod uwagę, że Richard Lucas napisał podobny artykuł trzy lata wcześniej, lub równanie Bella-Camerona-Lucasa-Washburna , biorąc pod uwagę odkrycie postaci równania przez JM Bella i FK Camerona w 1906 roku.

Pochodzenie

Pomiar zwilżalności proszku metodą Washburna.

${\ displaystyle L = (Dt) ^ {\ Frac {1} {2}}}$ swojej najbardziej ogólnej postaci równanie Lucasa Washburna opisuje długość penetracji ( $)$ cieczy do porów lub rurek kapilarnych w czasie ${\ displaystyle t}$ jako , gdzie ${\ Displaystyle D}$ jest uproszczonym współczynnikiem dyfuzji. Ta zależność, która jest prawdziwa w różnych sytuacjach, oddaje istotę równania Lucasa i Washburna i pokazuje, że penetracja kapilarna i transport płynu przez porowate struktury wykazują zachowanie dyfuzyjne podobne do tego, które występuje w wielu układach fizycznych i chemicznych. Współczynnik dyfuzji zależy od geometrii kapilary, a także właściwości penetrującego $płynu$ Ciecz o $powierzchniowym$ dynamicznej i napięciu ${\ displaystyle \ gamma}$ przeniknie na odległość do kapilary, której promień porów wynosi $displaystyle$ $r}$ zgodnie z zależnością: L {

${\ Displaystyle L = {\ sqrt {\ Frac {\ gamma rt \ cos (\ fi)} {2 \ eta}}}}$

Gdzie jest $.$ zwilżania między przenikającą cieczą a ciałem stałym (ścianką rury)

Równanie Washburna jest również powszechnie używane do określania kąta kontaktu cieczy z proszkiem za pomocą tensjometru siły .

W przypadku materiałów porowatych podnoszono wiele kwestii zarówno dotyczących fizycznego znaczenia obliczonego promienia porów, $jak$ i realnej możliwości wykorzystania tego równania do obliczenia kąta zwilżania ciała stałego Równanie wyprowadza się dla przepływu kapilarnego w cylindrycznej rurze przy braku pola grawitacyjnego , ale jest wystarczająco dokładne w wielu przypadkach, gdy siła kapilarna jest nadal znacznie większa niż siła grawitacji.

W swojej pracy z 1921 r. Washburn stosuje prawo Poiseuille'a dla ruchu płynu w okrągłej rurze. Wstawiając wyrażenie na objętość różnicową ${$ jako długość w się $l$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ delta l} {\ delta t}} = {\ Frac {\ suma P} {8r ^ {2}\eta l}}(r^{4}+4\epsilon r^{3})}

gdzie jest $uczestniczących$ ciśnień, takich jak ciśnienie atmosferyczne, $displaystyle \$ i równoważne $P}$ ciśnienie spowodowane siłami kapilarnymi ${\ displaystyle P_ {c}}$ . ${\ Displaystyle \ eta}$ to lepkość cieczy i ${\ Displaystyle \ epsilon}$ jest współczynnikiem poślizgu, który przyjmuje się jako 0 dla materiałów zwilżających . ${\ displaystyle r}$ to promień kapilary. Ciśnienia z kolei można zapisać jako

{\ Displaystyle P_ {h} = hg \ rho -lg \ rho \ sin \ psi}

{\ Displaystyle P_ {c} = {\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi}

gdzie $jest$ gęstością i $napięciem$ powierzchniowym . ${\ displaystyle \ psi}$ jest kątem rury względem osi poziomej. ${\ displaystyle \ phi}$ to kąt zwilżania cieczy na materiale kapilarnym. Podstawienie tych wyrażeń prowadzi do równania różniczkowego pierwszego rzędu dla odległości, na jaką płyn wnika do rurki: ${\ displaystyle l}$ :

{\ Displaystyle {\ Frac {\ delta l} {\ delta t}} = {\ Frac {[P_ {A} + g \ rho (hl \ sin \ psi) + {\ Frac {2 \ gamma} {r} }\cos \phi ](r^{4}+4\epsilon r^{3})}{8r^{2}\eta l}}}

stała Washburna

Stałą Washburna można uwzględnić w równaniu Washburna.

Oblicza się to w następujący sposób:

\ Displaystyle {\ Frac {10 ^ {4} \ lewo [\ operatorname {\ Frac { \mu m}{cm}} \right]\left[\mathrm {\frac {N}{m^{2}}} \right]}{68947.6\left[\mathrm {\frac {dyn}}{cm^ {2}}} \right]}}=0,1450(38)}

Bezwładność płynu

Przy wyprowadzaniu równania Washburna bezwładność cieczy jest ignorowana jako pomijalna. $Displaystyle L}$ to widoczne w zależności długości od $pierwiastka$ kwadratowego czasu , co daje dużą prędkość dL / dt dla małych L wartości t . Ulepszona wersja równania Washburna, zwana równaniem Bosanqueta , uwzględnia bezwładność cieczy.

Aplikacje

Druk atramentowy

Wnikanie cieczy w podłoże płynące pod własnym ciśnieniem kapilarnym można obliczyć za pomocą uproszczonej wersji równania Washburna:

{\ Displaystyle l = \ lewo [{\ Frac {r \ cos \ teta} {2}} \ prawo] ^ {\ Frac { 1}{2}}\lewo[{\frac {\gamma}}{\eta}}\prawo]^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}}

gdzie stosunek napięcia powierzchniowego do lepkości ${\ Displaystyle \ lewo [{\ tfrac {\ gamma} {\ eta}} \ prawej] ^ {\ Frac {1} {2}}}$ szybkość wnikania farby w podłoże. W rzeczywistości odparowanie rozpuszczalników ogranicza stopień penetracji cieczy w warstwie porowatej, dlatego dla sensownego modelowania fizyki druku atramentowego właściwe jest wykorzystanie modeli uwzględniających efekty parowania przy ograniczonej penetracji kapilarnej.

Żywność

Według fizyka i zdobywcy nagrody Ig Nobla , Lena Fishera , równanie Washburna może być niezwykle dokładne w przypadku bardziej złożonych materiałów, w tym ciastek . Po nieformalnej uroczystości zwanej narodowym dniem maczania herbatników, niektóre artykuły prasowe cytowały równanie jako równanie Fishera .

Nowatorska pompa kapilarna

Zachowanie przepływu w tradycyjnej kapilarze jest zgodne z równaniem Washburna. Ostatnio opracowano nowe pompy kapilarne o stałym natężeniu pompowania niezależnym od lepkości cieczy, które mają znaczną przewagę nad tradycyjną pompą kapilarną (której zachowanie przepływu jest charakterystyczne dla zachowania Washburna, a mianowicie natężenie przepływu nie jest stałe). Te nowe koncepcje pomp kapilarnych mają ogromny potencjał poprawy wydajności testu przepływu bocznego .

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Pomiar zwilżalności proszku metodą Washburna