Równanie Zakaia

W teorii filtrowania równanie Zakai jest liniowym stochastycznym równaniem różniczkowym cząstkowym dla nieznormalizowanej gęstości stanu ukrytego. W przeciwieństwie do tego równanie Kushnera daje nieliniowe stochastyczne równanie różniczkowe cząstkowe dla znormalizowanej gęstości stanu ukrytego. W zasadzie każde podejście pozwala na oszacowanie funkcji ilościowej (stanu układu dynamicznego ) na podstawie pomiarów z szumami, nawet gdy układ jest nieliniowy (uogólniając w ten sposób wcześniejsze wyniki Wienera i Kalmana dla układów liniowych i rozwiązując główny problem w teoria estymacji ). Zastosowanie tego podejścia do konkretnej inżynierskiej może być jednak problematyczne, ponieważ równania te są dość złożone. Równanie Zakai jest dwuliniowym stochastycznym równaniem różniczkowym cząstkowym . Został nazwany na cześć Moshe Zakai .

Przegląd

Załóżmy, że stan systemu ewoluuje zgodnie z

{\ Displaystyle dx = f (x, t) dt + dw}

i dostępny jest zaszumiony pomiar stanu systemu:

{\ Displaystyle dz = h (x, t) dt + dv}

gdzie $_$ niezależnymi Wienera . Wtedy nieznormalizowana gęstość prawdopodobieństwa warunkowego stanu w czasie t jest określona równaniem Zakai: ${\ Displaystyle p (x, t)}$

{\ Displaystyle dp = L (p) dt + ph ^ {T} dz}

gdzie operator ${\ Displaystyle L (p) = - \ suma {\ Frac {\ częściowy ( f_{i}p)}{\częściowe x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum {\frac {\częściowe ^{2}p}{\częściowe x_{i}\częściowe x_{j}}}}$

Jak wspomniano wcześniej, jest $}$ gęstością, a zatem niekoniecznie całkuje do 1. Po rozwiązaniu dla , w razie potrzeby można wykonać integrację i normalizację (dodatkowy krok nie jest wymagany w modelu Kushnera p {\ $p$ zbliżać się).

Zauważ, że jeśli pominie się ostatni składnik po prawej stronie (wybierając h identycznie zero), wynikiem jest niestochastyczne PDE: znane równanie Fokkera-Plancka , które opisuje ewolucję stanu, gdy nie są dostępne żadne informacje pomiarowe.

Zobacz też

Dalsza lektura

Grigelionis, B.; Mikulevičius, R. (1983). „Równania ewolucji stochastycznej i gęstości rozkładów warunkowych”. Teoria i zastosowanie pól losowych . Berlin: Springer. s. 49–88. doi : 10.1007/BFb0044682 .
Schuss, Zeew (2012). „Nieliniowe filtrowanie i wygładzanie dyfuzji”. Filtrowanie nieliniowe i śledzenie optymalnej fazy . Boston: Springer. s. 85–106. doi : 10.1007/978-1-4614-0487-3_3 . ISBN 978-1-4614-0486-6 .