Równanie całkowe pola elektrycznego

Równanie całkowe pola elektrycznego jest zależnością, która umożliwia obliczenie pola elektrycznego ( E ) generowanego przez rozkład prądu elektrycznego ( J ).

Pochodzenie

$uwagę wszystkie wielkości$ zakłada się zależność od czasu,

Zaczynając od równań Maxwella odnoszących się do pola elektrycznego i magnetycznego i zakładając liniowy, jednorodny ośrodek o przepuszczalności i przenikalności : $\ epsilon \,$$displaystyle$ :

${\ Displaystyle \ nabla \ razy {\ textbf {E}} = - j \ omega \ mu {\ textbf {H}} \,}$

${\ Displaystyle \ nabla \ razy {\ textbf {H}} = j \ omega \ epsilon {\ textbf {E}} + {\ textbf {J}} \,}$

Po trzecim równaniu dotyczącym rozbieżności H

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ textbf {H}} = 0 \,}$

za pomocą rachunku wektorowego możemy zapisać dowolny wektor bez rozbieżności jako zwinięcie innego wektora, stąd

${\ Displaystyle \ nabla \ razy {\ textbf {A}} = {\ textbf {H}} \,}$

gdzie A nazywamy potencjałem wektora magnetycznego . Podstawiając to do powyższego, otrzymujemy

${\ Displaystyle \ nabla \ razy ({\ textbf {E}} + j \ omega \ mu {\ textbf {A}}) = 0 \,}$

stąd każdy wektor bez zwijania można zapisać jako gradient skalarny

${\ Displaystyle {\ textbf {E}} + j \ omega \ mu {\ textbf {A}} = - \ nabla \ Phi}$

gdzie jest $skalarnym$ potencjałem . Te relacje pozwalają nam teraz pisać

${\ Displaystyle \ nabla \ razy \ nabla \ razy {\ textbf {A}} -k ^ {2} {\ textbf {A}} = { \textbf {J}}-j\omega \epsilon \nabla \Phi \,}$

gdzie ${\ Displaystyle k = \ omega {\ sqrt {\ mu \ epsilon}}}$ , które można przepisać na podstawie tożsamości wektora jako

${\ Displaystyle \ nabla (\ nabla \ cdot {\ textbf {A}}) - \ nabla ^ {2} {\ textbf {A}}-k^{2}{\textbf {A}}={\textbf {J}}-j\omega \epsilon \nabla \Phi \,}$

Ponieważ określiliśmy tylko zawijanie A , możemy zdefiniować rozbieżność i wybrać:

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot {\ textbf {A}} = - j \ omega \ epsilon \ Phi \,}$

który jest nazywany warunkiem cechowania Lorenza . Poprzednie wyrażenie dla A teraz redukuje się do

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} {\ textbf {A}} + k ^ {2} {\ textbf {A}} = - {\ textbf {J}} \, }$

który jest wektorowym równaniem Helmholtza . Rozwiązaniem tego równania dla A jest

${\ Displaystyle {\ textbf {A}} ({\ textbf {r}}) = {\ Frac {1} {4\pi}}\iiint {\textbf {J}}({\textbf {r}}^{\prime})\ G({\textbf {r}},{\textbf {r}}^{\ pierwsza })\ d{\textbf {r}}^{\pierwsza }\,}$

gdzie ${\ Displaystyle G ({\ textbf {r}} {\ textbf {r}} ^ {\ pierwsza}} \,} jest$ trójwymiarową jednorodną funkcją Greena określoną przez

${\ Displaystyle G ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {\ pierwsza}) = {\ Frac {e ^ {-jk | {\ textbf {r}} - {\ textbf {r }}^{\prime }|}}{|{\textbf {r}}-{\textbf {r}}^{\prime }|}}\,}$

Możemy teraz napisać tak zwane równanie całkowe pola elektrycznego (EFIE), wiążące pole elektryczne E z potencjałem wektorowym A

$\ Displaystyle {\ textbf {E}} = - j \ omega \ mu {\ textbf {A}} + {\ Frac {1} j\omega \epsilon }}\nabla (\nabla \cdot {\textbf {A}})\,}$

Możemy dalej reprezentować EFIE w formie diadycznej jako

${\ Displaystyle {\ textbf {E}} = - j \ omega \ mu \ int _ {V} d {\ textbf {r}} ^{\prime }{\textbf {G}}({\textbf {r}},{\textbf {r}}^{\prime})\cdot {\textbf {J}}({ \textbf {r}}^{\pierwsza})\,}$

gdzie ${\ Displaystyle {\ textbf {G}} ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r}} ^ {\ pierwsza}) \,}$ tutaj jest diadyczna jednorodna funkcja Greena podane przez

${\ Displaystyle {\ textbf {G}} ({\ textbf {r}}, {\ textbf {r }}^{\prime })={\frac {1}{4\pi }}\left[{\textbf {I}}+{\frac {\nabla \nabla }{k^{2}}}\ po prawej]G({\textbf {r}},{\textbf {r}}^{\prime })\,}$

Interpretacja

EFIE opisuje wypromieniowane pole E przy zbiorze źródeł J i jako takie jest podstawowym równaniem używanym w analizie i projektowaniu anten . Jest to bardzo ogólna zależność, którą można wykorzystać do obliczenia pola promieniowania dowolnego rodzaju anteny, gdy znany jest rozkład prądu na niej. Najważniejszym aspektem EFIE jest to, że pozwala nam rozwiązać problem promieniowania/rozpraszania w nieograniczonym obszarze lub takim, którego granica znajduje się w nieskończoności . W przypadku powierzchni zamkniętych możliwe jest zastosowanie równania całkowego pola magnetycznego lub równania całkowego złożonego pola, z których oba dają zestaw równań o ulepszonej liczbie warunków w porównaniu z EFIE. Jednak MFIE i CFIE mogą nadal zawierać rezonanse.

W problemach z rozpraszaniem pożądane jest określenie nieznanego pola rozproszonego, $spowodowane$ znanym polem incydentu mi ja $displaystyle E_ {i}}$ . Niestety, EFIE odnosi rozproszone do J , a nie do pola padającego, więc nie wiemy, czym jest J. Tego rodzaju problem można rozwiązać, nakładając warunki brzegowe na pole incydentalne i rozproszone, co pozwala na zapisanie $kategoriach$ i samego J. Po wykonaniu tej czynności równanie całkowe można następnie rozwiązać techniką numeryczną odpowiednią dla równań całkowych, taką jak metoda momentów .

Notatki

Za pomocą twierdzenia Helmholtza pole wektorowe jest całkowicie opisane przez jego rozbieżność i zakrzywienie. Ponieważ rozbieżność nie została zdefiniowana, uzasadnione jest wybranie powyższego warunku Lorenza Gauge, pod warunkiem, że konsekwentnie będziemy używać tej definicji rozbieżności A we wszystkich kolejnych analizach. Jednak inne wybory dla $z których wszystkie opisują te same$ równań dla dowolnego wyboru ${\ Displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A}}$ prowadzą do tych samych pól elektromagnetycznych i te same fizyczne przewidywania dotyczące pól i ładunków są przez nie przyspieszane.

Naturalne jest myślenie, że jeśli wielkość wykazuje taki stopień swobody w swoim wyborze, to nie powinna być interpretowana jako rzeczywista wielkość fizyczna. $W końcu,$$być$ możemy dowolnie wybrać, czymkolwiek, to jest wyjątkowy Można zapytać: jaka jest „prawdziwa” wartość zmierzona w eksperymencie ${\ displaystyle \ mathbf {A}} ?$ Jeśli nie jest $unikalny$ , jedyną logiczną odpowiedzią musi być to, że nigdy nie możemy zmierzyć wartości $mathbf {A}}$ . Na tej $,$$i$ że nie jest to rzeczywista wielkość fizyczna i uważa się, że pola są prawdziwymi wielkościami fizycznymi.

Istnieje jednak co najmniej jeden eksperyment, w którym obie wartości $}$ obie $\ displaystyle \ mathbf {E}$ zero w miejscu naładowanej cząstki, ale mimo to ma to wpływ na mi { przez obecność lokalnego potencjału wektora magnetycznego; zobacz efekt Aharonova – Bohma, aby uzyskać szczegółowe informacje. $Niemniej$ jednak, nawet w eksperymencie Aharonova – Bohma, rozbieżność nie wchodzi w obliczenia; tylko $.$ określa mierzalny

•   Gibson, Walton C. Metoda momentów w elektromagnetyce . Chapman & Hall/CRC, 2008. ISBN 978-1-4200-6145-1
•   Harrington, Roger F. Pola elektromagnetyczne harmoniczne w czasie . McGraw-Hill, Inc., 1961. ISBN 0-07-026745-6 .
•   Balanis, Constantine A. Zaawansowana inżynieria elektromagnetyczna . Wiley, 1989. ISBN 0-471-62194-3 .
•   Chew, Weng C. Fale i pola w ośrodkach niejednorodnych . IEEE Press, 1995. ISBN 0-7803-4749-8 .
• Rao, Wilton, Glisson. Rozpraszanie elektromagnetyczne na powierzchniach o dowolnym kształcie . IEEE Transactions on Antennas and Propagation, tom, AP-30, nr 3, maj 1982. doi:10.1109/TAP.1982.1142818