Równanie von Foerstera

Równanie McKendricka – von Foerstera to liniowe równanie różniczkowe cząstkowe pierwszego rzędu , spotykane w kilku obszarach biologii matematycznej - na przykład w demografii i modelowaniu proliferacji komórek ; stosuje się ją, gdy struktura wiekowa jest ważną cechą modelu matematycznego . Po raz pierwszy została przedstawiona przez Andersona Graya McKendricka w 1926 r. jako deterministyczna granica modeli kratowych stosowanych w epidemiologii , a następnie niezależnie w 1959 r. przez biofizykę profesor Heinz von Foerster za opisanie cykli komórkowych.

Formuła matematyczna

Wzór matematyczny można wyprowadzić z pierwszych zasad. to brzmi:

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy n} {\ częściowy t}} + {\ Frac {\ częściowy n} {\ częściowy a}} = - Człowiek}$

$jest$ gęstość $zaludnienia$ wieku $i$ oraz $_ a)}$ ( jest funkcją śmierci. Kiedy mamy: ${\ displaystyle m (a) = 0}$

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy n} {\ częściowy t}} = - {\ Frac {\ częściowy n} {\ częściowy a}}}

Odnosi się do tego, że populacja się starzeje i jako jedyny wpływa na zmianę gęstości zaludnienia; znak minus pokazuje, że czas płynie tylko w jednym kierunku, że nie ma narodzin, a populacja wymiera.

Pochodzenie

Załóżmy, że dla zmiany w czasie $dt }$ wieku ${\ displaystyle$ wynosi: re t

{\ Displaystyle n (t + dt, a + da) = [1-m (a) dt]n(t,a)}

Oznacza to, że w pewnym okresie gęstość zaludnienia zmniejsza się o procent.

Displaystyle

m (a) dt

. Rozwinięcie szeregu Taylora na zamówienie daje nam, że:

{\ displaystyle dt}

\ Displaystyle n (t + dt, a + da) \ około n ( t,a)+{\częściowy n \ponad {\częściowy t}}dt+{\częściowy n \ponad {\częściowy a}}da}

Wiemy, że

{\textstyle da/dt=1}

, ponieważ zmiana wieku w czasie wynosi 1. Dlatego po zebraniu wyrazów musimy mieć, że:

{\ Displaystyle {\ częściowy n \ ponad {\ częściowy t}} + {\ częściowy n \ ponad {\ częściowy a}} = - m (a) N}

Rozwiązanie analityczne

Równanie von Foerstera jest równaniem ciągłości ; można go rozwiązać za pomocą metody cech . Innym sposobem jest rozwiązanie podobieństwa ; a trzeci to podejście numeryczne, takie jak skończone różnice .

Aby otrzymać rozwiązanie, należy dodać następujące warunki brzegowe:

{\ Displaystyle n (t, 0) = \ int _ {0} ^ {\ infty} b (a) n (t, a )\,da}

który stwierdza, że początkowe narodziny powinny być zachowane (patrz równanie Sharpe – Lotka – McKendrick, aby inaczej) oraz że:

{\ Displaystyle n (0, a) = f (a)}

który stwierdza, że należy podać populację początkową; wtedy będzie ewoluować zgodnie z równaniem różniczkowym cząstkowym.

Podobne równania

W: Sebastian Aniţa, Viorel Arnăutu, Vincenzo Capasso. An Introduction to Optimal Control Problems in Life Sciences and Economics (Birkhäuser. 2011), to równanie pojawia się jako szczególny przypadek równania Sharpe’a – Lotki – McKendricka; w tym ostatnim jest dopływ, a matematyka oparta jest na pochodnej kierunkowej . Równanie McKendricka pojawia się szeroko w kontekście biologii komórki jako dobre podejście do modelowania cyklu komórkowego eukariota.

Zobacz też