Rachunek chronologiczny

Rachunek chronologiczny jest formalizmem służącym do analizy przepływów nieautonomicznych układów dynamicznych. Został wprowadzony przez A. Agracheva i R. Gamkrelidze pod koniec lat 70. XX wieku. Zakres formalizmu polega na zapewnieniu odpowiednich narzędzi do radzenia sobie z nieprzemiennymi polami wektorowymi i przedstawiania ich przepływów jako nieskończonych szeregów Volterry . Szeregi te, początkowo wprowadzone jako czysto formalne rozwinięcia, są następnie pokazane jako zbieżne przy pewnych odpowiednich założeniach.

Operatorowa reprezentacja punktów, pól wektorowych i dyfeomorfizmów

Niech będzie $skończenie wymiarową$ rozmaitością.

$($ poprzez zastąpienie nieliniowego obiektu o skończonych wymiarach, rozmaitości, $,$ wymiarowym, algebrą . Prowadzi to do następujących identyfikacji:

Punkty ${\ Displaystyle q \ w M}$ są utożsamiane z nietrywialnymi homomorfizmami algebry

{\ Displaystyle {\ kapelusz {q}}: C ^ {\ infty} (M) \ do \mathbb {R}}

zdefiniowane przez

{\ Displaystyle {\ hat {q}} (a) = a (q)}

.

P. ${\ Displaystyle P: M \ do M}$ są utożsamiane z -automorfizmami $Displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$ ${\ Displaystyle {\ hat {P}}: C ^ {\ infty} (M) \ do C ^ {\ infty} (M)} zdefiniowane$ przez ${\ Displaystyle ({\ kapelusz {P}} a) (q) = a (P (q))}$ .
Wektory styczne ${\ Displaystyle v \ in T_ {q} M}$ są utożsamiane z funkcjonałami liniowymi ${\ Displaystyle {\ hat {v}}: C ^ {\ infty } (M) \ do \ mathbb {R}}$ spełniające regułę Leibniza ${\ Displaystyle {\ kapelusz {v }} (ab) = {\ kapelusz {v}} (a) b (q) + a (q) {\ kapelusz {v}} (b)} w q {\$ Displaystyle $}$ .
Gładkie pola $operatorami$ z $)$

spełniając regułę Leibniza ${\ Displaystyle {\ kapelusz {V}} (ab) = {\ kapelusz {V}} (a) b + za {\ kapelusz {V}} (b)}$ .

$V (P (q))$ formalizmie wektor styczny z operatorem. V $\$

Rozważamy topologię Whitneya zdefiniowaną przez rodzinę półnorm do $\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\|a \|_ {s, K}: = \ sup \ lewo \ {\ lewo | {\ Frac {\ częściowe ^ {\ alfa} a} {\ częściowe q ^ {\alpha}}}(q)\right|\,\mid q\in K,\,\alpha \in \mathbb {N} ^{{\rm {dim}}(M)},\;|\ alfa |\równik s\prawo\},}}

$)}$ rodzin operatorów na można zdefiniować w słabym sensie w następujący sposób: $C ^ {\ infty} ($ spełnia pewną właściwość regularności, jeśli rodzina spełnia tę samą właściwość, dla każdego $t$ $→ ZA t ( za ) {$ . $na$ operatorów .

Ekspansja Volterry i prawy chronologiczny wykładniczy

Rozważ kompletne nieautonomiczne pole wektorowe ${\ Displaystyle (t, q) \ mapsto X_ {t} (q)}$ na ${\ Displaystyle M}$ , gładkie względem ${\ displaystyle q}$ i wymierne względem ${\ displaystyle t}$ . q ${\ Displaystyle {\ kropka {q}} (t) = X_ {t} (q (t))}$ , co w formalizmie operatora

\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} q (t) = q (t) \ circ X_ {t},}

()

$tj$ przepływ , . rodzinę dyfeomorfizmów $t \ do P ^ {t}}$ , ${\ Displaystyle P ^ {0} =\mathrm {identyfikator} }$ . Przepływ spełnia równanie

{\ Displaystyle {\ Frac {d} {dt}} P ^ {t} = P ^ {t} \ circ X_ {t}, \; P ^ {0} = \ operatorname {Id}.}

()

Przepisz 2 jako równanie całkowe Volterry ${\ Displaystyle P ^ {t} = \ operatorname {Id} + \ int _ {0} ^ {t} P ^ {\ tau _ {1}} \ circ X_ {\ tau _ {1}} d \ tau _ {1}}$ .

Powtarzając procedurę jeszcze raz, dochodzimy do

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P ^ {t} & = \ operatorname {Id} + \ int _ {0} ^ {t} P ^ {\ tau _ {1}} \ circ X _ {\ tau _ { 1}}d\tau _{1}=\mathrm {Id} +\int _{0}^{t}\left(\mathrm {Id} +\int _{0}^{\tau _{1} }P^{\tau _{2}}\circ X_{\tau _{2}}d\tau _{2}\right)\circ X_{\tau _{1}}d\tau _{1} \\&=\mathrm {Id} +\int _{0}^{t}X_{\tau _{1}}d\tau _{1}+\int _{0}^{t}\int _ {0}^{\tau _{1}}P^{\tau_{2}}\circ X_{\tau _{2}}\circ X_{\tau _{1}}d\tau _{2 }d\tau _{1}.\end{wyrównane}}}

W ten sposób uzasadniamy notację, przynajmniej na poziomie formalnym, dla właściwego chronologicznego wykładnika

{\ styl wyświetlania P^{t}={\overrightarrow {\mathrm {exp}}}\int _{0}^{t}X_{\tau}d\tau =\mathrm {Id} +\sum _{n=1 }^{+\infty }\int \dots \int _{\Delta _{n}(t)}\ X_{\tau _{n}}\circ \dots \circ X_{\tau _{1}} d\tau _{n}\kropki d\tau _{1},}

()

gdzie ${\ Displaystyle \ Delta _ {n} (t) = \ {(\ tau _{1},\dots ,\tau _{n})\in \mathbb {R} ^{n}\,\mid \,0\leq \tau _{1}\leq \dots \leq \tau _ {n} \ równoważnik t \}}$ $-wymiarowy$ standardowy simpleks.

Niestety, ten szereg nigdy nie jest zbieżny na do $\ Displaystyle C ^ {\ infty} (M)}$ ; $której$ w konsekwencji Borela , istnieje gładka funkcja, się Niemniej jednak częściowa suma

{\ Displaystyle \ Displaystyle {S_ {m} (t )=\mathrm {Id} +\sum _{n=1}^{m}\int \dots \int _{\Delta _{n}(t)}\ X_{\tau _{n}}\circ \dots \circ X_{\tau _{1}}d\tau _{n}\dots d\tau _{1}}}

można użyć do uzyskania asymptotyki prawej chronologicznej wykładniczej: rzeczywiście można udowodnić, że dla każdego za $\ Displaystyle a \ in C ^ {\ infty} (M)}$ , ${\ displaystyle s \ geq 0}$ i kompaktowe, mamy ${\ Displaystyle K \ podzbiór M}$

{\ Displaystyle \ lewo \ | \ lewo ({\ overrightarrow {\ operatorname {exp}}} \int _{0}^{t}X_{\tau }d\tau -S_{m}(t)\right)(a)\right\|_{s,K}\leq Ce^{C\int _{0}^{t}\|X_{\tau }\|_{s,K'}d\tau }{\frac {1}{m!}}\left(\int _{0}^{ t}\|X_{\tau }\|_{s+m-1,K'}d\tau \right)^{m}\|a\|_{s+m,K'},}

()

do $\ Displaystyle C> 0}$ , gdzie ${\ Displaystyle K '= \ kubek _ {s \ w [0, t]} P ^ { s}(K)}$ . Można również udowodnić, że szereg asymptotyczny $\ Displaystyle L \ podzbiór C ^ {\ infty} (M)}$ ${m} ($ S m $t$ na którym ${\ Displaystyle X_ {t}}$ jest dobrze zdefiniowany i ograniczony, tj.

{\ Displaystyle \ Displaystyle {X_ {t} (L) \ podzbiór L \ quad \| X_ {t} \ | _ {L}: = \ sup \ lewo \ {\| X_ {t} (a) \ | _{L}\,\mid \,a\in L,\,\|a\|_{L}\leq 1\right\}<+\infty .}}

Na koniec warto zauważyć, że analogiczną dyskusję można rozwinąć dla lewego chronologicznego wykładniczego , spełniającego równanie różniczkowe ${\ displaystyle Q ^ {t}}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ Frac {d} {dt}} Q ^ {t} = X_ {t} \ circ Q ^ {t}, \; Q ^ {0} = \ operatorname {Id}.}}

Odmiana wzoru na stałe

Rozważ zaburzony ODE

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ Frac {d} {dt}} P ^ {t} = P ^ {t} \ circ (X_ {t} + Y_ {t}), \ quad P ^ {0} = \ argument matematyczny {Id} .}}

Chcielibyśmy przedstawić odpowiedni przepływ, ${\ Displaystyle P ^ {t} = {\ overrightarrow {\ operatorname {exp}}} \ int _ {0} ^ {t} (X_ {\ tau} + Y_ {\ tau}) d \ tau}$ , jako skład oryginalnego przepływu mi $\ Displaystyle {\ overrightarrow {\ mathrm {wyr} }}\int _{0}^{t}X_{\tau }d\tau }$ z odpowiednim zaburzeniem, czyli chcielibyśmy napisać wyrażenie postaci

{\ Displaystyle \ Displaystyle {P ^ {t} = {\ overrightarrow {\ operatorname {exp}}} \ int _ {0} ^ {t} (X_ {\ tau} + Y_ {\ tau}) d \ tau = R^{t}\circ {\overrightarrow {\mathrm {exp}}}\int _{0}^{t}X_{\tau}d\tau.}}

$}$ $C^{\infty }(M)}$ że działanie dyfeomorfizmu gładkim polu wektorowym $wyrażone$ $jako$ wyprowadzenie na $displaystyle$ , jest określone wzorem

{\ Displaystyle \ Displaystyle {S_ {*} W = S ^ {-1} \ circ W \ circ S = \ operatorname {Reklama} S ^ {-1} (W).}}

W szczególności, jeśli ${\ Displaystyle S ^ {t} = {\ overrightarrow {\ operatorname {exp}}} \ int _ {0} ^ {t} V_ {\ tau }d\tau }$ , mamy

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {d} {dt}} (\ operatorname {Ad} S ^ {t}) W & = {\ Frac {d} {dt}} S ^ {t} \ circ W\circ S^{-t}=S^{t}\circ \left(V_{t}\circ WW\circ V_{t}\right)\circ S^{-t}\\&=\mathrm {Ad} S^{t}[V_{t},W]=(\mathrm {Ad} S^{t})\mathrm {ad} V_{t}W.\end{aligned}}}

To uzasadnia notację

{\ Displaystyle \ Displaystyle {\ operatorname {Reklama} S ^ {t} = {\ overrightarrow {\ operatorname {exp}}} \ int _ {0} ^ {t} \ operatorname {reklama} V _ {\ tau} d \ tau .}}

Teraz piszemy

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ Frac {d }{dt}}P^{t}=P^{t}\circ (X_{t}+Y_{t})=P^{t}\circ X_{t}+R^{t}\circ { \overrightarrow {\mathrm {wyr.}}\int _{0}^{t}X_{\tau}d\tau \circ Y_{t}}}

I

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ Frac {d} {dt}} P ^ {t} = {\ kropka {R}} ^ {t} \ circ {\ overrightarrow {\ operatorname {\ mathrm { exp} }}\int _{0}^{t}X_{\tau}d\tau +R^{t}\circ {\overrightarrow {\mathrm {exp}}}\int _{0}^{t }X_{\tau}d\tau \circ X_{t}={\dot {R}}^{t}\circ {\overrightarrow {\mathrm {exp}}}\int _{0}^{t} X_{\tau}d\tau +P^{t}\circ X_{t}}}

co implikuje, że

{\ Displaystyle \ Displaystyle {{\ kropka {R}} ^ {t} = R ^ {t} \ circ \ lewo ({\ overrightarrow {\ operatorname {exp}}} \ int _ {0} ^ {t} \ matematyczna {ad} X_{\tau }d\tau \right)Y_{t},\quad R^{0}=\mathrm {Id} .}}

Ponieważ ten ODE ma unikalne rozwiązanie, możemy pisać

{\ Displaystyle \ Displaystyle {R ^ {t} = {\ overrightarrow {\ operatorname {exp}} }\int _{0}^{t}\left({\overrightarrow {\mathrm {exp}}}\int _{0}^{\tau}\mathrm {ad} X_{\theta}d\theta \ po prawej)Y_{\tau }d\tau ,}}

i dochodzimy do końcowego wyrażenia, zwanego formułą wariacji stałych :

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {exp}}} \ int _ {0} ^ {t} (X _ {\ tau} + Y_ {\ tau}) d \ tau = {\ overrightarrow {\ operatorname {exp} }}\int _{0}^{t}\left({\overrightarrow {\mathrm {exp}}}\int _{0}^{\tau}\mathrm {ad} X_{\theta}d\theta \right)Y_{\tau}d\tau \circ {\overrightarrow {\mathrm {exp}}}\int _{0}^{t}X_{\tau}d\tau.}

()

Wreszcie, na mocy równości ${\ Displaystyle (\ operatorname {Ad} P) { \overrightarrow {\mathrm {wyr.}}\int _{0}^{t}V_{\tau}d\tau ={\overrightarrow {\mathrm {wyr.}}}\int _{0}^{t} (\ operatorname {Ad} P) V_ {\ tau} d \ tau}$ , otrzymujemy drugą wersję formuły wariacji stałych, z niezakłóconym przepływem ${\ Displaystyle {\ overrightarrow {\mathrm {exp} }}\int _{0}^{t}X_{\tau }d\tau }$ złożone po lewej stronie, czyli

{\ Displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {exp}}} \ int _ {0} ^ {t} (X _ {\ tau} + Y_ {\ tau}) d \ tau = {\ overrightarrow {\ operatorname {exp} }}\int _{0}^{t}X_{\tau}d\tau \circ {\overrightarrow {\mathrm {exp}}}\int _{0}^{t}\left({\overrightarrow { \mathrm {wyr} }}\int _{t}^{\tau}\mathrm {ad} X_{\theta}d\theta \right)Y_{\tau}d\tau.}

()

Źródła

Agrachev, Andriej A.; Saczkow, Jurij L. (2004). „Elementy rachunku chronologicznego”. Teoria sterowania z geometrycznego punktu widzenia . Encyklopedia nauk matematycznych . Tom. 84. Springera. ISBN 9783662064047 .
Agrachev, Andriej A.; Gamkrelidze, Revaz V. (1978). „Wykładnicza reprezentacja przepływów i wyliczenie chronologiczne. (Rosyjski)”. Mata. Śr . Nowa seria. 107 (149): 467-532, 639.
Agrachev, Andriej A.; Gamkrelidze, Revaz V. (1980). „Algebry chronologiczne i niestacjonarne pola wektorowe. (Rosyjski)”. Akad. Nauk SSSR, Wsesojuz. Inst. Nauchn. i Tekhn. Informacje . 11 : 135–176.
Kawski, Maciej; Sussmann, Héctor (1997). Nieprzemienne szeregi potęgowe i formalne techniki Lie-algebraiczne w nieliniowej teorii sterowania . Europejski małżonek. Matematyka Przemysł. Teubnera w Stuttgarcie. s. 111–128.
Kawski, Maciej (2002). Kombinatoryka nieliniowej sterowalności i przepływów niekomutujących . ICTP Wykł. Uwagi, VIII. Abdus Salam Int. Cent. teoria. Fiz., Triest. s. 223–311.
Sarychev, Andrey V. (2006). „Przedłużenia kłamstwa nieliniowych systemów sterowania”. Dziennik nauk matematycznych . 135 (4): 3195–3223. doi : 10.1007/s10958-006-0152-4 .