Reakcja stanu zerowego

W teorii obwodów elektrycznych odpowiedź stanu zerowego ( ZSR ) to zachowanie lub odpowiedź obwodu ze stanem początkowym równym zero. ZSR wynika tylko z zewnętrznych wejść lub funkcji sterujących obwodu, a nie ze stanu początkowego.

Całkowita odpowiedź obwodu to superpozycja ZSR i ZIR, czyli zerowa odpowiedź wejściowa. ZIR wynika tylko ze stanu początkowego układu, a nie z żadnego napędu zewnętrznego. ZIR jest również nazywany odpowiedzią naturalną , a częstotliwości rezonansowe ZIR nazywane są częstotliwościami naturalnymi . Biorąc pod uwagę opis systemu w domenie s, odpowiedź w stanie zerowym można opisać jako Y(s)=Init(s)/a(s), gdzie a(s) i Init(s) są specyficzne dla systemu.

Odpowiedź stanu zerowego i odpowiedź wejścia zerowego w układach całkujących i różniczkowych

Jednym z przykładów zastosowania odpowiedzi stanu zerowego są obwody integratora i układu różniczkującego. Badając prosty obwód integratora, można wykazać, że gdy funkcja jest umieszczona w liniowym systemie niezmiennym w czasie (LTI), wyjście można scharakteryzować przez superpozycję lub sumę zerowej odpowiedzi wejściowej i odpowiedzi stanu zerowego.

System można przedstawić jako

${\ Displaystyle f (t) \,}$${\ Displaystyle y (t) = y (t_ {0}) + \ int _{t_{0}}^{t}f(\tau)d\tau}$

z wejściem ${\ displaystyle f (t). \}$ po lewej stronie i wyjście ${\ displaystyle y (t). \}$ po prawej stronie.

Wyjście ${\ Displaystyle y (t). \}$ można podzielić na zerowe wejście i rozwiązanie stanu zerowego za pomocą

${\ Displaystyle y (t) = \ underbrace {y (t_ {0})} _ {zerowe wejście \ odpowiedź} + \ underbrace {\ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau) d \tau } _{stan zerowy\ odpowiedź}.}$

Wkład ${\ Displaystyle y (t_ {0}) \,}$ i ${\ Displaystyle f (t) \,}$ do wyjścia ${\ Displaystyle y (t) \, }$$(\tau )d\tau }$ { $_$ } ${$ y ${\ Displaystyle y (t_ {0}) \,$ i ${\ displaystyle f (t). \,}$

To zachowanie stanowi system liniowy . System liniowy ma wyjście, które jest sumą różnych składowych o zerowym wejściu i stanie zerowym, z których każda zmienia się liniowo, odpowiednio ze stanem początkowym systemu i wejściem systemu.

Zerowa odpowiedź wejściowa i odpowiedź stanu zerowego są od siebie niezależne, dlatego każdy składnik można obliczyć niezależnie od drugiego.

Odpowiedź stanu zerowego w układach całkujących i różniczkowych

Reakcja stanu zerowego ${\ Displaystyle \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau) d \ tau}$ reprezentuje wyjście systemu ${\ Displaystyle y (t) \,}$ gdy ${\ Displaystyle y (t_ {0}) = 0. \,}$

Gdy nie ma wpływu wewnętrznych napięć lub prądów z powodu wcześniej naładowanych elementów

${\ Displaystyle y (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau) d \ tau. \,}$

Odpowiedź w stanie zerowym zmienia się wraz z wejściem systemu i w warunkach stanu zerowego można powiedzieć, że dwa niezależne wejścia dają dwa niezależne wyjścia:

${\ Displaystyle f_ {1} (t) \,}$${\ Displaystyle y_ {1} (t) \,}$

I

${\ Displaystyle f_ {2} (t) \,}$${\ displaystyle y_ {2} (t). \,}$

Ze względu na liniowość możemy następnie zastosować zasady superpozycji, aby osiągnąć

${\ Displaystyle Kf_ {1} (t) + Kf_ {2} (t) \,}$${\ Displaystyle Ky_ {1} (t) + Ky_ {2} (t). \,}$

Weryfikacja odpowiedzi stanu zerowego w układach całkujących i różniczkowych

Aby dojść do ogólnego równania

Prosty obwód integratora

Obwód po prawej działa jak prosty obwód integratora i zostanie użyty do weryfikacji równania ${\ Displaystyle y (t) = \ int _ {t_ {0}} ^{t}f(\tau )d\tau \,}$ jako odpowiedź stanu zerowego obwodu integratora.

Kondensatory $_$ zależność - napięcie _ _ _ .

Manipulując powyższym równaniem, można pokazać, że kondensator skutecznie całkuje płynący przez niego prąd. Otrzymane równanie pokazuje również stan zerowy i zerowe odpowiedzi wejściowe na obwód integratora.

Po pierwsze, całkując obie strony powyższego równania

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} i (t) dt = \ int _ {a} ^ {b} C {\ Frac {dv} {dt}} dt.}$

Po drugie, integrując prawą stronę

${\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {b} i (t) dt = C [v (b) -v (a)].}$

Po $,$ i

${\ Displaystyle Cv (b) = Cv (a) + \ int _ {a} ^ {b} i (t) dt.}$

Po czwarte, podziel przez $aby$ osiągnąć

${\ Displaystyle v (b) = v (a) + {\ Frac {1} {C}} \ int _ {a} ^ {b} i (t) dt.}$

Zastępując ${\ displaystyle t \,}$ b {\ ${\ displaystyle a \,}$$b \,}$ i ${\ displaystyle t_ {o} \,}$ za używając zmiennej fikcyjnej ${\ displaystyle \tau \,}$ jako zmienną integracji równania ogólnego

${\ Displaystyle v (t) = v (t_ {0}) + {\ Frac {1} {C}} \ int _ {t_{0}}^{t}i(\tau)d\tau}$

jest znalezione.

Aby dojść do konkretnego przykładu obwodu

Ogólne równanie można następnie wykorzystać do dalszego zademonstrowania tej weryfikacji, wykorzystując warunki prostego obwodu integratora powyżej.

Wykorzystując pojemność 1 farada, jak pokazano w powyższym obwodzie integratora

${\ Displaystyle v (t) = v (t_ {0}) + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} ja (\tau )d\tau ,}$

które jest równaniem zawierającym wejście zerowe i odpowiedź stanu zerowego widoczne na górze strony.

Aby zweryfikować liniowość stanu zerowego

$co$ napięcie wokół kondensatora w czasie 0 równe 0 lub , że ​​nie ma napięcia początkowego. Eliminuje to pierwszy składnik tworzący równanie

${\ Displaystyle v (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} i (\ tau) d \ tau. \,}$ .

Zgodnie z metodami liniowych systemów niezmiennych w czasie , umieszczając dwa różne wejścia w obwodzie integratora, ${\ Displaystyle i_ {1} (t) \,}$ i ${\ displaystyle i_ {2}(t)\,}$ , dwa różne wyjścia

${\ Displaystyle v_ {1} (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} i_ {1} (\ tau) d \ tau \,}$

I

${\ Displaystyle v_ {2} (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} i_ {2} (\ tau) d \ tau \,}$

znajdują się odpowiednio.

Korzystając z $_$ superpozycji $łączyć$ wejściowe _ nowe wejście

${\ Displaystyle i_ {3} (t) = K_ {1} i_ {1} (t) + K_ {2} i_ { 2}(t)\,}$

i nowe wyjście

${\ Displaystyle v_ {3} (t) = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} (K_ {1}i_ {1} (\ tau) + K_ {2}i_ {2} (\ tau) )d\tau .}$

Integrując prawą stronę

${\ Displaystyle v_ {3} (t) = K_ {1} \ int _ {t_{0}}^{t}i_{1}(\tau )d\tau +K_{2}\int _{t_{0}}^{t}i_{2}(\tau )d\tau ,}$

${\ Displaystyle v_ {3} (t) = K_ {1} v_ {1} (t) + K_ {2} v_ { 2}(t)\,}$

jest znaleziony, co oznacza, że ​​system jest liniowy w stanie zerowym, ${\ displaystyle v (t_ {0}) = 0 \,}$ .

Cały ten przykład weryfikacji można było również wykonać ze źródłem napięcia zamiast źródła prądu i cewką indukcyjną zamiast kondensatora. Rozwiązywalibyśmy wtedy prąd zamiast napięcia.

Zastosowania w branży reakcji na stan zerowy

Metoda analizy obwodów polegająca na sprowadzeniu wyjścia systemu do stanu zerowego i zerowej odpowiedzi wejściowej jest stosowana w całym przemyśle, w tym w obwodach , systemach sterowania , przetwarzaniu sygnałów i elektromagnetyce . Również większość programów do symulacji obwodów, takich jak SPICE , obsługuje tę metodę w takiej czy innej formie.