Rekonstrukcja sygnału

W przetwarzaniu sygnału rekonstrukcja zwykle oznacza określenie oryginalnego ciągłego sygnału z sekwencji równomiernie rozmieszczonych próbek.

W tym artykule przyjęto uogólnione abstrakcyjne matematyczne podejście do próbkowania i rekonstrukcji sygnału. Aby zapoznać się z bardziej praktycznym podejściem opartym na sygnałach o ograniczonym paśmie, zobacz wzór interpolacji Whittakera – Shannona .

Ogólna zasada

Niech F będzie dowolną metodą próbkowania, tj. mapą liniową z przestrzeni Hilberta funkcji całkowalnych do kwadratu $do$ przestrzeni przestrzeni zespolonej do $} ^ {n}}$ .

W naszym przykładzie przestrzeń wektorowa próbkowanych sygnałów $jest$ n - przestrzenią zespoloną Każdy proponowany odwrotny ${\ displaystyle L ^ {2}$ od F ( wzór rekonstrukcji , w żargonie) musiałby zostać odwzorowany $na$ jakiś podzbiór . Moglibyśmy wybrać ten podzbiór dowolnie, ale jeśli chcemy mieć wzór rekonstrukcji R jest to również mapa liniowa, to musimy wybrać n -wymiarową podprzestrzeń liniową ${\ displaystyle L ^ {2}}$ .

Fakt, że wymiary muszą się zgadzać, jest związany z twierdzeniem Nyquista-Shannona o próbkowaniu .

Działa tu elementarne podejście algebry liniowej. Niech ${\ Displaystyle d_ {k}: = (0,..., 0,1,0,..., 0$ ( wszystkie wpisy $są$ zerowe, z wyjątkiem k- jest jedynką) lub innej podstawy . zdefiniować odwrotność dla , po prostu wybierz dla każdego k ek ${\ Displaystyle e_ {k} \ w L ^ {2}}$ tak, że ${\ Displaystyle F (e_ {k}) = d_ {k}}$ . To jednoznacznie definiuje (pseudo-) odwrotność F .

Oczywiście można najpierw wybrać jakąś formułę rekonstrukcji, a następnie albo obliczyć algorytm próbkowania na podstawie formuły rekonstrukcji, albo przeanalizować zachowanie danego algorytmu próbkowania względem podanej formuły.

W idealnym przypadku formuła rekonstrukcji jest wyprowadzana przez minimalizację oczekiwanej wariancji błędu. Wymaga to znajomości statystyki sygnału lub określenia wcześniejszego prawdopodobieństwa sygnału. Teoria pola informacyjnego jest zatem odpowiednim formalizmem matematycznym do wyprowadzenia optymalnej formuły rekonstrukcji.

Popularne formuły odbudowy

Być może najczęściej stosowana formuła rekonstrukcji jest następująca. Niech będzie podstawą w sensie przestrzeni Hilberta; $Displaystyle \ {e_ {k$ $\}}$ na przykład można użyć eikonal

{\ Displaystyle e_ {k} (t): = e ^ {2 \ pi ikt} \,}

,

chociaż inne wybory są z pewnością możliwe. Zauważ, że tutaj indeks k może być dowolną liczbą całkowitą, nawet ujemną.

Następnie możemy zdefiniować liniową mapę R przez

{\ Displaystyle R (d_ {k}) = e_ {k} \,}

dla każdego ${\ Displaystyle k = \ lfloor -n/2 \ rfloor, ... \ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor}$ , gdzie ${\ Displaystyle ( ( d_ {k})}$ jest podstawą podaną przez do $^ {n}}$

\ Displaystyle d_ {k} (j) = e ^ {2 \ pi ijk \ nad n}}

(Jest to zwykła dyskretna podstawa Fouriera).

Wybór przedziału $_$ _ i odzwierciedla powszechne przekonanie, że najważniejsze informacje zawarte są w niskich częstotliwościach. W niektórych przypadkach jest to nieprawidłowe, dlatego należy wybrać inną formułę rekonstrukcji.

Podobne podejście można uzyskać, stosując falki zamiast zasad Hilberta. W przypadku wielu zastosowań najlepsze podejście nadal nie jest jasne. ^{[ oryginalne badania? ]}

Zobacz też