Relacja przodków

W logice matematycznej relacja przodkowa (często skracana do relacji przodkowej ) relacji binarnej R jest jej domknięciem przechodnim , jednak zdefiniowanym w inny sposób, patrz poniżej.

Relacje przodków pojawiają się po raz pierwszy w Begriffsschrift Fregego . Frege użył ich później w swoim Grundgesetze jako część swojej definicji skończonych kardynałów . Dlatego przodek był kluczową częścią jego poszukiwań logicznych podstaw arytmetyki.

Definicja

Poniższe ponumerowane propozycje zostały zaczerpnięte z jego Begriffsschrift i przekształcone we współczesnym zapisie.

Właściwość P nazywamy R - dziedziczną , jeśli zawsze, gdy x jest P i xRy zachodzi , to y jest również P :

{\ Displaystyle (Px \ ziemia x Ry) \ strzałka w prawo Py}

Frege zdefiniował b jako R - przodka a , zapisanego aR ^* b , jeśli b ma każdą R -dziedziczną właściwość, którą wszystkie obiekty x takie , że aRx mają:

{\ Displaystyle \ mathbf {76:} \ \vdash aR^{*}b\leftrightarrow \forall F[\forall x(aRx\to Fx)\land \forall x\forall y(Fx\land xRy\to Fy)\to Fb]}

Przodek jest relacją przechodnią :

{\ Displaystyle \ mathbf {98:} \ \ vdash (aR ^ {*} b \ ziemia bR ^ {*} c) \ strzałka w prawo aR ^{*}c}

Niech notacja I ( R ) oznacza, że R jest funkcyjne (Frege nazywa takie relacje „wiele-jeden”):

{\ Displaystyle \ mathbf {115:} \ \ vdash I (R) \ leftrightarrow \ forall x \forall y\forall z[(xRy\land xRz)\rightarrow y=z]}

Jeśli R jest funkcjonalne , to przodek R jest tym, co obecnie nazywa się połączonym ^{[ potrzebne wyjaśnienie ]} :

{\ Displaystyle \ mathbf {133:} \ \ vdash (ja ( R)\land aR^{*}b\land aR^{*}c)\rightarrow (bR^{*}c\lor b=c\lor cR^{*}b)}

Związek z domknięciem przechodnim

Relacja przodków jest równa domknięciu przechodniemu z $^ {$ $displaystyle$ $}$ . Rzeczywiście, jest przechodnia (patrz 98 powyżej), $R$ $^ {*}}$ zawiera ${\ Displaystyle R}$ w istocie, jeśli aRb to oczywiście b ma każdą R -dziedziczną właściwość, którą wszystkie obiekty x mają, takie jak aRx , ponieważ b jest jednym z nich), i wreszcie, ${\ Displaystyle R ^ {*}}$ jest zawarte w ${\ Displaystyle R ^ {+} }$ $+}$ rzeczywiście, załóżmy $x$ { \ ${$ dwie przesłanki, ${\ Displaystyle \ forall x (aRx \ do Fx)}$ i ${\ Displaystyle \ forall x \ forall y (Fx \ land xRy \ do Fy)}$ , są oczywiście spełnione; dlatego przez nasz wybór ${\ displaystyle Fb}$ , co oznacza $^ {+} b}$ $displaystyle$ ). Zobacz także książkę Boolosa poniżej, strona 8.

Dyskusja

Principia Mathematica wielokrotnie używała przodka, podobnie jak logika matematyczna Quine'a (1951) .

Warto jednak zauważyć, że relacji przodków nie da się zdefiniować w logice pierwszego rzędu . Kontrowersyjne jest, czy logika drugiego rzędu ze standardową semantyką jest w ogóle „logiką”. Quine słynnie twierdził, że to naprawdę „teoria mnogości w owczej skórze”. W swoich książkach przedstawiających systemy formalne związane z PM i zdolne do modelowania znacznych części matematyki, a mianowicie - i w kolejności publikacji - „System logistyki”, „Logika matematyczna” i „Teoria mnogości i jej logika”, ostateczny pogląd Quine'a jeśli chodzi o właściwy podział między systemami logicznymi i pozalogicznymi, wydaje się, że po dodaniu do systemu aksjomatów, które pozwalają na pojawienie się zjawiska niekompletności, system nie jest już czysto logiczny.

Zobacz też

George Boolos , 1998. Logika, logika i logika . Uniwersytet Harvarda Naciskać.
Ivor Grattan-Guinness , 2000. W poszukiwaniu korzeni matematycznych . Uniwersytet Princeton Naciskać.
Willard Van Orman Quine , 1951 (1940). Logika Matematyczna . Uniwersytet Harvarda Naciskać. ISBN 0-674-55451-5 .

Linki zewnętrzne

Stanford Encyclopedia of Philosophy : „ Logika, twierdzenie i podstawy arytmetyki Frege'a ” — Edward N. Zalta . Sekcja 4.2.