Rozkład Super-Poissona

W matematyce rozkład super-Poissona to rozkład prawdopodobieństwa , który ma większą wariancję niż rozkład Poissona z tą samą średnią . I odwrotnie, rozkład sub-Poissonowski ma mniejszą wariancję.

Przykładem rozkładu super-Poissona jest ujemny rozkład dwumianowy .

Rozkład Poissona jest wynikiem procesu, w którym czas (lub równoważna miara) między zdarzeniami ma rozkład wykładniczy , reprezentujący proces bez pamięci .

Definicja matematyczna

W teorii prawdopodobieństwa często mówi się, że dystrybucja D jest podrozkładem innej dystrybucji E , jeśli funkcja generująca moment D jest ograniczona przez E do stałej. Innymi słowy

${\ Displaystyle E_ {X \ sim D} [\ exp (tX)] \ równoważnik E_ {X \ sim E} [\ exp (CtX)].}$

dla pewnego C > 0 . Oznacza to, że jeśli oba $pochodzą$$X_ {1}}$ dystrybucji sub-E, to tak samo jest $Displaystyle$ .

Rozkład jest ściśle podrzędny, jeśli C ≤ 1 . Z tej definicji rozkład D jest podpoissonowski, jeśli

${\ Displaystyle E_ {X \ sim D }[\exp(tX)]\leq E_{X\sim {\text{Poisson}}(\lambda )}[\exp(tX)]=\exp(\lambda (e^{t}-1)) ,}$

dla wszystkich t > 0 .

Przykładem rozkładu sub-Poissonowskiego jest rozkład Bernoulliego , ponieważ

${\ Displaystyle E [\ exp (tX)] = (1-p) + pe ^ {t} \ równoważnik \ exp (p (e ^ {t} -1)).}$

Ponieważ sub-poissonizm jest zachowywany przez sumy, otrzymujemy, że rozkład dwumianowy jest również sub-poissonowski.