Sekwencja łańcuchowa

W analitycznej teorii ułamków ciągłych ciąg łańcuchowy jest nieskończonym ciągiem { a _n } nieujemnych liczb rzeczywistych połączonych łańcuchem z innym ciągiem { g _n } nieujemnych liczb rzeczywistych za pomocą równań

${\ Displaystyle a_ {1} = (1-g_ {0}) g_{1}\quad a_{2}=(1-g_{1})g_{2}\quad a_{n}=(1-g_{n-1})g_{n}}$

gdzie albo (a) 0 ≤ g _n < 1, albo (b) 0 < g _n ≤ 1. Ciągi łańcuchowe pojawiają się w badaniu problemu zbieżności – zarówno w związku z twierdzeniem paraboli, jak i jako część teorii dodatnio określone ułamki ciągłe.

Nieskończony ciągły ułamek twierdzenia Worpitzky'ego zawiera ciąg łańcuchowy. Pokazuje to blisko spokrewnione twierdzenie

${\ Displaystyle f (z) = {\ cfrac {a_ {1} z} {1 + {\ cfrac {a_ {2}z}{1+{\cfrac {a_{3}z}{1+{\cfrac {a_{4}z}{\ddots}}}}}}}}\,}$

zbiega się równomiernie na zamkniętym dysku jednostkowym | z | ≤ 1, jeśli współczynniki { a _n } są sekwencją łańcuchową.

Przykład

₀ Sekwencja {¼, ¼, ¼, ...} pojawia się jako przypadek graniczny w stwierdzeniu twierdzenia Worpitzky'ego. Ponieważ ta sekwencja jest generowana przez ustawienie g = g ₁ = g ₂ = ... = ½, jest to wyraźnie sekwencja łańcuchowa. Ta sekwencja ma dwie ważne właściwości.

• Ponieważ f ( x ) = x - x ² jest maksimum, gdy x = ½, ten przykład jest „największą” sekwencją łańcucha, którą można wygenerować za pomocą pojedynczego elementu generującego; lub dokładniej, jeśli { g _n } = { x } i x < ½, wynikowa sekwencja { a _n } będzie nieskończonym powtórzeniem liczby rzeczywistej y , która jest mniejsza niż ¼.
• Wybór g _n = ½ nie jest jedynym zestawem generatorów dla tej konkretnej sekwencji łańcuchów. Zwróć uwagę na to ustawienie

${\ Displaystyle g_ {0} = 0 \ quad g_ {1} = {\ textstyle {\ Frac {1} {4}}} \ quad g_{2}={\textstyle {\frac {1}{3}}}\quad g_{3}={\textstyle {\frac {3}{8}}}\;\dots }$

generuje tę samą niekończącą się sekwencję {¼, ¼, ¼, ...}.

Notatki

•   HS Wall, Analityczna teoria ułamków ciągłych , D. Van Nostrand Company, Inc., 1948; przedrukowane przez Chelsea Publishing Company, (1973), ISBN 0-8284-0207-8