Problem zbieżności

W analitycznej teorii ułamków ciągłych problem zbieżności polega na określeniu warunków na licznikach cząstkowych ai i mianownikach cząstkowych b i , które są wystarczające do zagwarantowania zbieżności ułamka ciągłego

Ten problem zbieżności dla ułamków ciągłych jest z natury trudniejszy niż odpowiadający mu problem zbieżności dla szeregów nieskończonych .

Podstawowe wyniki

Kiedy elementy nieskończonego ułamka ciągłego składają się wyłącznie z dodatnich liczb rzeczywistych , wzór na wyznacznik można łatwo zastosować do wykazania, kiedy ułamek ciągły jest zbieżny. Ponieważ mianowniki B n nie mogą być w tym prostym przypadku równe zeru, problem sprowadza się do wykazania, że ​​iloczyn kolejnych mianowników B n B n +1 rośnie szybciej niż iloczyn liczników cząstkowych a 1 a 2 a 3 ... n _ +1 . Problem zbieżności jest znacznie trudniejszy, gdy elementy ułamka ciągłego są liczbami zespolonymi .

Okresowe ułamki ciągłe

Nieskończony okresowy ułamek ciągły jest ułamkiem ciągłym postaci

gdzie k ≥ 1, ciąg liczników cząstkowych { a 1 , a 2 , a 3 , ..., a k } nie zawiera wartości równych zeru, a liczniki cząstkowe { a 1 , a 2 , a 3 , .. ., a k } i częściowe mianowniki { b 1 , b 2 , b 3 , ..., b k } powtarzają się w nieskończoność .

Stosując teorię liniowych przekształceń ułamkowych do

gdzie A k -1 , B k -1 , Ak i B k są licznikami i mianownikami k -1 i k -tej zbieżności nieskończonego okresowego ułamka ciągłego x , można pokazać, że x jest zbieżne do jednego z stałych punktów s ( w ), jeśli w ogóle jest zbieżny. Konkretnie, niech r 1 i r 2 będą pierwiastkami równania kwadratowego

Pierwiastki te są stałymi punktami s ( w ) . Jeśli r 1 i r 2 są skończone, to nieskończony okresowy ułamek ciągły x jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy

  1. dwa pierwiastki są równe; Lub
  2. k -1 zbieżny jest bliżej r 1 niż r 2 i żadna z pierwszych k zbieżnych nie jest równa r 2 .

Jeżeli mianownik B k -1 jest równy zeru, to nieskończona liczba mianowników B nk -1 również znika, a ułamek ciągły nie zbiega się do wartości skończonej. A gdy dwa pierwiastki r 1 i r 2 są jednakowo oddalone od k -1 zbieżnego – lub gdy r 1 jest bliżej k -1 zbieżnego niż r 2 , ale jeden z pierwszych k zbieżnych jest równy r 2 – ułamek ciągły x rozchodzi się przez oscylację.

Szczególny przypadek, gdy okres k = 1

Jeżeli okres ułamka ciągłego wynosi 1; czyli jeśli

gdzie b ≠ 0, możemy otrzymać bardzo mocny wynik. Po pierwsze, stosując transformację równoważności, widzimy, że x jest zbieżne wtedy i tylko wtedy, gdy

zbiega się. Następnie, stosując bardziej ogólny wynik uzyskany powyżej, można to wykazać

zbiega się dla każdej liczby zespolonej z, z wyjątkiem sytuacji, gdy z jest ujemną liczbą rzeczywistą, a z <-¼. Co więcej, ten ciągły ułamek y zbiega się do określonej wartości

który ma większą wartość bezwzględną (z wyjątkiem sytuacji, gdy z jest rzeczywiste, a z <-¼, w którym to przypadku dwa stałe punkty generujące LFT y mają równe moduły, a y rozchodzi się przez oscylację).

Stosując kolejną transformację równoważności warunek gwarantujący zbieżność

też można ustalić. Pokazuje to bowiem prosta transformacja równoważności

ilekroć z ≠ 0, poprzedni wynik dla ułamka ciągłego y można przekształcić dla x . Nieskończony okresowy ułamek ciągły

jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy z 2 nie jest liczbą rzeczywistą z przedziału −4 < z 2 ≤ 0 – lub równoważnie x jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy z ≠ 0 i z nie jest czystą liczbą urojoną z częścią urojoną między - 2 i 2. (bez żadnego punktu końcowego)

Twierdzenie Worpitzky'ego

Stosując podstawowe nierówności do ułamka ciągłego

można pokazać, że następujące zdania są spełnione, jeśli | a ja | ≤ ¼ dla liczników cząstkowych a i , i = 2, 3, 4, ...

  • Ułamek ciągły x jest zbieżny do wartości skończonej i zbieżny jednostajnie, jeśli liczniki cząstkowe a i są zmiennymi zespolonymi.
  • Wartość x i każdej z jej zbieżnych x i leży w dziedzinie kołowej o promieniu 2/3 ze środkiem w punkcie z = 4/3; to znaczy w regionie określonym przez
  • Promień ¼ to największy promień, na którym można pokazać, że x zbiega się bez wyjątku, a obszar Ω jest najmniejszą przestrzenią obrazu zawierającą wszystkie możliwe wartości ułamka ciągłego x .

Dowód pierwszego stwierdzenia Juliusa Worpitzky'ego z 1865 roku jest najwyraźniej najstarszym opublikowanym dowodem na to, że ułamek ciągły o elementach zespolonych faktycznie jest zbieżny. [ sporne (dla: wzór ułamka ciągłego Eulera jest starszy) – dyskusja ]

Ponieważ dowód twierdzenia Worpitzky'ego wykorzystuje wzór na ułamek ciągły Eulera do skonstruowania szeregu nieskończonego, który jest równoważny ułamkowi ciągłemu x , a tak skonstruowany szereg jest bezwzględnie zbieżny, test M Weierstrassa można zastosować do zmodyfikowanej wersji x . Jeśli

i istnieje dodatnia liczba rzeczywista M taka, że ​​| c ja | ≤ M ( i = 2, 3, 4, ...), to ciąg zbieżnych { fi i ( z )} jest jednostajnie zbieżny, gdy

a f ( z ) jest analityczne na tym otwartym dysku.

Kryterium Śleszyńskiego-Pringsheima

Główny artykuł: Twierdzenie Śleszyńskiego-Pringsheima

Pod koniec XIX wieku Śleszyński , a później Pringsheim wykazali, że ułamek ciągły, w którym a s i b s mogą być liczbami zespolonymi, zbiegnie się do wartości skończonej, jeśli dla

Twierdzenie Van Vlecka

Jones i Thron przypisują następujący wynik Van Vleckowi . Załóżmy, że wszystkie a i są równe 1, a wszystkie b i mają argumenty z:

gdzie epsilon to dowolna liczba dodatnia mniejsza niż . Innymi słowy, wszystkie b ja którego wierzchołek znajduje się na początku, ma kąt otwarcia symetryczny wokół dodatniej osi rzeczywistej. Wtedy f i , i-ty zbieżny z ułamkiem ciągłym, jest skończony i ma argument:

Również sekwencja parzystych zbieżności będzie zbieżna, podobnie jak sekwencja nieparzystych zbieżności. Sam ułamek ciągły będzie zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy suma wszystkich | b ja | rozbieżne.

Notatki

  1. ^ 1886 Otto Stolz , Verlesungen über allgemeine Arithmetik , s. 299-304
  2. Bibliografia _ _ _ _ Monachium , tom. 30, „Über die Konvergenz unendlicher Kettenbrüche”
  3. ^ 1905 Oskar Perron , ur. Monachium , tom. 35, „Über die Konvergenz periodischer Kettenbrüche”
  4. ^ 1865 Julius Worpitzky, Jahresbericht Friedrichs-Gymnasium und Realschule , "Untersuchungen über die Entwickelung der monodromen und monogenen Functionen durch Kettenbrüche"
  5. ^ a b 1942 JF Paydon i HS Wall, Duke Math. Dziennik , tom. 9, „Ciągły ułamek jako ciąg przekształceń liniowych”
  6. ^ 1905 Edward Burr Van Vleck , The Boston Colloquium , „Wybrane tematy z teorii szeregów rozbieżnych i ułamków ciągłych”
  7. ^ Zobacz na przykład Twierdzenie 4.35 na stronie 92 Jones and Thron (1980).
  8. ^ Zobacz twierdzenie 4.29, na stronie 88, Jones i Thron (1980).
  •   Jones, William B.; Thron, WJ (1980), Ułamki ciągłe: teoria analityczna i zastosowania. Encyklopedia matematyki i jej zastosowań . , tom. 11, Czytanie. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-13510-8
  • Oskar Perron , Die Lehre von den Kettenbrüchen , Chelsea Publishing Company , Nowy Jork, NY 1950.
  •   Ściana HS, analityczna teoria ułamków ciągłych , D. Van Nostrand Company, Inc. , 1948 ISBN 0-8284-0207-8
Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Convergence_problem&oldid=1117470510 ”