Seria Dysona

W teorii rozpraszania , będącej częścią fizyki matematycznej , szereg Dysona , sformułowany przez Freemana Dysona , jest perturbacyjnym rozwinięciem operatora ewolucji czasu w obrazie interakcji . Każdy termin może być reprezentowany przez sumę diagramów Feynmana .

Ten szereg rozbiega się asymptotycznie , ale w elektrodynamice kwantowej (QED) drugiego rzędu różnica w stosunku do danych eksperymentalnych jest rzędu ^10-10 . Ta ścisła zgodność jest zachowana, ponieważ stała sprzężenia (znana również jako stała struktury subtelnej ) QED jest znacznie mniejsza niż 1.

Zauważ, że w tym artykule użyto jednostek Plancka , więc ħ = 1 (gdzie ħ jest zredukowaną stałą Plancka ).

Operator Dysona

Załóżmy, że mamy hamiltonian H , który dzielimy na część swobodną H ₀ i część oddziałującą V _S (t) , czyli ₀ H = H + V _S (t) .

Będziemy tutaj pracować na obrazie interakcji , czyli

${\ Displaystyle V_ {I} (t) = \ operatorname {e} ^ {\ argumentacja {i} H_{0}\cdot (t-t_{0})}V_{S}(t)\parametryzacja {e} ^{-\mathrm {i} H_{0}\cdot (t-t_{ 0})},}$

gdzie $prawdopodobnie$ niezależna od czasu i $,$ czasu oddziałującą częścią obrazu Aby uniknąć indeksów dolnych, $t)} .$ części oznacza $Displaystyle V$ Jednostki wybieramy tak, aby zredukowana stała Plancka ħ wynosiła 1.

Na obrazie interakcji operator ewolucji U określony równaniem

${\ Displaystyle \ psi (t) = U (t, t_ {0}) \ psi (t_ {0})}$

nazywa się operatorem Dysona .

Mamy

${\ Displaystyle U (t, t) = ja,}$

${\ Displaystyle U (t t_ {0}) = U (t, t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0}),}$

${\ Displaystyle U ^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t),}$

stąd równanie ewolucji propagatora w czasie:

${\ Displaystyle ja {\ Frac {d} {dt}} U (t, t_ {0}) \ psi (t_ {0}) = V (t) U (t, t_ {0}) \ psi (t_ {0}) 0}).}$

Nie należy tego mylić z równaniem Tomonagi – Schwingera

W konsekwencji:

${\ Displaystyle U (t, t_ {0}) = 1-i \ int _ {t_ {0}} ^ {t} {dt_ {1} \ V (t_ {1}) U (t_ {1}, t_ {0})}.}$

Co ostatecznie jest rodzajem równania Volterry

Wyprowadzenie szeregu Dysona

Prowadzi to do następującego szeregu Neumanna :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} U (t, t_ {0}) = {} i 1-i \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} V (t_ {1}) + ( -i)^{2}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}\,dt_{2}V(t_{ 1})V(t_{2})+\cdots \\&{}+(-i)^{n}\int _{t_{0}}^{t}dt_{1}\int _{t_{ 0}}^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int_{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}V(t_{1})V(t_{2 })\cdots V(t_{n})+\cdots .\end{wyrównane}}}$

Tutaj mamy ${\ Displaystyle t_ {1}> t_ {2}> \ cdots > t_ {n}}$ , więc możemy powiedzieć, że pola są uporządkowane w czasie i przydatne do wprowadzenia operatora zwanego operatorem porządkującym czas , definiującym ${\ displaystyle {\ mathcal {T}}}$

${\ Displaystyle U_ {n} (t, t_ {0}) = (-i) ^ {n} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^{t_{1}}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1} )V(t_{2})\cdots V(t_{n}).}$

Możemy teraz spróbować uprościć tę integrację. W rzeczywistości na poniższym przykładzie:

${\ Displaystyle S_ {n} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {1}} dt_ {2} \ cdots \ int _ {t_{0}}^{t_{n-1}}dt_{n}\,K(t_{1},t_{2},\kropki,t_{n}).}$

Załóżmy, że K jest symetryczny w swoich argumentach i zdefiniuj (spójrz na granice całkowania):

${\ Displaystyle I_ {n} = \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {2} \ cdots \ int _ {t_ { 0}}^{t}dt_{n}K(t_{1},t_{2},\kropki,t_{n}).}$

Region integracji można podzielić na ${\ Displaystyle n!}$ podregiony zdefiniowane przez ${\ Displaystyle t_ {1}> t_ {2}> \ cdots > t_ {n}}$ , ${\ Displaystyle t_ {2}> t_ {1}> \ cdots > t_ {n}}$ itd. Ze względu na symetrię K całka w każdym z tych podobszarów jest taka sama i równa ${\ displaystyle S_ {n}}$ z definicji. Więc to prawda

${\ Displaystyle S_ {n} = {\ Frac {1} {n!}} Ja_ {n}.}$

Wracając do naszej poprzedniej całki, zachodzi następująca tożsamość

${\ Displaystyle U_ {n} = {\ Frac {(-i) ^ {n}} {n!}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t} dt_ {1} \ int _ {t_ {0} }}^{t}dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}dt_{n}\,{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2 })\cdots V(t_{n}).}$

Podsumowując wszystkie terminy, otrzymujemy twierdzenie Dysona dla szeregu Dysona :

${\ Displaystyle U (t, t_ {0}) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} U_ {n} (t, t_ {0}) = {\ mathcal {T}} e ^ {- i\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau)}}.}$

Aplikacja na wektorach stanu

₀₀ Następnie można wyrazić wektor stanu w czasie t za pomocą wektora stanu w czasie t , dla t > t ,

${\ Displaystyle | \ Psi (t) \ rangle = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty }{ (-i) ^ {n} \ nad n!} \ underbrace {\ int dt_ {1} \ cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\geq \,t_{n}\,\geq \,t_ {\rm {i}}}\,{\mathcal {T}}\left\{\prod _{k=1}^{n}e^{iH_{0}t_{k}}V(t_{k })e^{-iH_{0}t_{k}}\right\}|\Psi (t_{0})\rangle .}$

₀ Wtedy iloczyn wewnętrzny stanu początkowego ( t _i = t ) ze stanem końcowym ( t _f = t ) w obrazie Schrödingera dla t _f > t _i jest następujący:

${\ Displaystyle \ langle \ Psi (t_ {i}) \ mid \ Psi (t_ {f}) \ rangle = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty }{ (-i) ^ {n} \ ponad n!}\underbrace {\int dt_{1}\cdots dt_{n}} _{t_{\rm {f}}\,\geq \,t_{1}\,\geq \,\cdots \,\ geq \,t_{n}\,\geq \,t_{\rm {i}}}\,\langle \Psi (t_{i})\mid e^{-iH_{0}(t_{\rm { f}}-t_{1})}V_{S}(t_{1})e^{-iH_{0}(t_{1}-t_{2})}\cdots V_{S}(t_{n })e^{-iH_{0}(t_{n}-t_{\rm {i}})}\mid \Psi (t_{i})\rangle .}$

Zobacz też

• Równanie Schwingera-Dysona
• Seria Magnusa
• Seria Peano-Bakera
• Iteracja Picarda

•   Charles J. Joachain , Kwantowa teoria kolizji , North-Holland Publishing, 1975, ISBN 0-444-86773-2 (Elsevier)