Ekspansja Magnusa

W matematyce i fizyce rozszerzenie Magnusa , nazwane na cześć Wilhelma Magnusa (1907–1990), zapewnia wykładniczą reprezentację rozwiązania jednorodnego liniowego równania różniczkowego pierwszego rzędu dla operatora liniowego . W szczególności dostarcza podstawowej macierzy układu liniowych równań różniczkowych zwyczajnych rzędu n o różnych współczynnikach. Wykładnik jest agregowany jako nieskończony szereg, którego wyrazy obejmują wiele całek i zagnieżdżonych komutatorów.

Przypadek deterministyczny

Podejście Magnusa i jego interpretacja

Biorąc pod uwagę macierz współczynników n × n A ( t ) , chce się rozwiązać problem wartości początkowej związany z liniowym równaniem różniczkowym zwyczajnym

${\ Displaystyle Y' (t) = A (t) Y (t), \ quad Y (t_ {0}) = Y_ {0}}$

dla nieznanej n -wymiarowej funkcji wektorowej Y ( t ) .

Gdy n = 1, rozwiązanie po prostu brzmi

${\ Displaystyle Y (t) = \ exp \ lewo (\ int _ {t_ {0}} ^ {t} A (s) \, ds \ prawej) Y_ {0}.}$

Jest to nadal ważne dla n > 1 , jeśli macierz A ( t ) spełnia A ( t ₁ ) A ( t ₂ ) = A ( t ₂ ) A ( t ₁ ) dla dowolnej pary wartości t , t ₁ i t ₂ . W szczególności ma to miejsce, gdy macierz A jest niezależna od t . Jednak w ogólnym przypadku powyższe wyrażenie nie jest już rozwiązaniem problemu.

Podejście wprowadzone przez Magnusa do rozwiązania problemu macierzy z wartością początkową polega na wyrażeniu rozwiązania za pomocą wykładnictwa pewnej funkcji macierzowej n × n ₀ Ω ( t , t ) :

${\ Displaystyle Y (t) = \ exp {\ duży (} \ Omega (t, t_ {0}) {\ duży)} \, Y_ {0},}$

który jest następnie konstruowany jako rozwinięcie serii :

${\ Displaystyle \ Omega (t) = \ suma _ {k = 1} ^ {\ infty} \ Omega _ {k} (t),}$

₀ gdzie dla uproszczenia zwyczajowo zapisujemy Ω( t ) zamiast ₀ Ω( t , t ) i przyjmujemy t = 0.

Magnus docenił to, że ponieważ d / dt ( e ^Ω ) e ^−Ω = A ( t ) , używając tożsamości macierzy Poincaré-Hausdorffa , mógł powiązać pochodną czasową Ω z funkcją generującą liczb Bernoulliego i sprzężonym endomorfizmem Ω ,

${\ Displaystyle \ Omega '= {\ Frac {\ nazwa operatora {reklama} _ {\ Omega}}} {\ exp (\ nazwa operatora {reklama} _ {\ Omega })-1}}A,}$

rozwiązać dla Ω rekurencyjnie w kategoriach A „w ciągłym analogu rozwinięcia CBH ”, jak opisano w kolejnej sekcji.

Powyższe równanie stanowi rozwinięcie Magnusa lub szereg Magnusa dla rozwiązania macierzy liniowego problemu z wartością początkową. Przeczytaj pierwsze cztery terminy tej serii

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Omega _ {1} (t) & = \ int _ {0} ^ {t} A (t_ {1}) \, dt_ {1}, \\\ Omega _ { 2}(t)&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\, [A(t_{1}),A(t_{2})],\\\Omega _{3}(t)&={\frac {1}{6}}\int _{0}^{t }dt_{1}\int _{0}^{t_{1}}dt_{2}\int_{0}^{t_{2}}dt_{3}\,{\Bigl (}{\big [ }A(t_{1}),[A(t_{2}),A(t_{3})]{\big ]}+{\big [}A(t_{3}),[A(t_{ 2}),A(t_{1})]{\big ]}{\Bigr )},\\\Omega _{4}(t)&={\frac {1}{12}}\int _{ 0}^{t}dt_{1}\int_{0}^{t_{1}}dt_{2}\int_{0}^{t_{2}}dt_{3}\int_{0} ^{t_{3}}dt_{4}\,\left({\Duży [}{\duży [}[A_{1},A_{2}],A_{3}{\duży ]},A_{ 4}{\Duży ]}\right.\\&\qquad +{\Duży [}A_{1},{\duży [}[A_{2},A_{3}],A_{4}{\duży ]}{\Duży ]}+{\Duży [}A_{1},{\duży [}A_{2},[A_{3},A_{4}]{\duży ]}{\Duży ]}+ \left.{\Duży [}A_{2},{\duży [}A_{3},[A_{4},A_{1}]{\duży ]}{\Duży ]}\right),\end {wyrównany}}}$

gdzie [ ZA , B ] ≡ ZA B - B A jest komutatorem macierzowym A i B .

Równania te można interpretować następująco: Ω ₁ ( t ) pokrywa się dokładnie z wykładnikiem w przypadku skalarnym ( n = 1), ale to równanie nie może dać całego rozwiązania. Jeśli ktoś nalega na reprezentację wykładniczą ( grupa Liego ), wykładnik musi zostać poprawiony. Reszta serii Magnusa zapewnia tę korektę systematycznie: Ω lub jej części znajdują się w algebrze Liego grupy Liego w rozwiązaniu.

W zastosowaniach rzadko można dokładnie zsumować szereg Magnusa i trzeba go obciąć, aby uzyskać przybliżone rozwiązania. Główną zaletą propozycji Magnusa jest to, że skrócony szereg bardzo często ma wspólne właściwości jakościowe z dokładnym rozwiązaniem, co jest sprzeczne z innymi konwencjonalnymi zaburzeń . Na przykład w mechanice klasycznej symplektyczny charakter ewolucji czasu jest zachowany w każdym rzędzie przybliżenia. Podobnie unitarny charakter operatora ewolucji czasu w mechanice kwantowej jest również zachowana (w przeciwieństwie np. do serii Dyson rozwiązującej ten sam problem).

Konwergencja ekspansji

Z matematycznego punktu widzenia problem zbieżności jest następujący: mając pewną macierz A ( t ) , kiedy można otrzymać wykładnik Ω ( t ) jako sumę szeregu Magnusa?

Warunkiem wystarczającym, aby szereg ten był zbieżny dla t ∈ [0, T ) jest

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {T} \| A (s) \|_ {2} \, ds <\ pi,}$

gdzie ${\ Displaystyle \|\ cdot \|_ {2}}$ oznacza normę macierzy . Wynik ten jest ogólny w tym sensie, że można skonstruować specyficzne macierze A ( t ) , dla których szereg jest rozbieżny dla dowolnego t > T.

Generator Magnusa

Procedura rekurencyjna do generowania wszystkich wyrazów w rozwinięciu Magnusa wykorzystuje macierze S _n ^{( k )} zdefiniowane rekurencyjnie przez

${\ Displaystyle S_ {n} ^ {(j)} = \sum _{m=1}^{nj}\left[\Omega _{m},S_{nm}^{(j-1)}\right],\quad 2\równik j\równik n-1, }$

${\ Displaystyle S_ {n} ^ {(1)} = \ lewo [\ Omega _ {n-1 },A\right],\quad S_{n}^{(n-1)}=\operatorname {ad} _{\Omega _{1}}^{n-1}(A),}$

które następnie dostarczają

${\ Displaystyle \ Omega _ {1} = \ int _ {0} ^ {t} A (\ tau) \, d \ tau,}$

${\ Displaystyle \ Omega _ {n} = \ suma _ {j = 1} ^ {n-1} {\ Frac {B_ {j}} {j!}} \ int _ {0} ^ {t} S_ { n}^{(j)}(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2.}$

Tutaj ad ^k _Ω jest skrótem dla iterowanego komutatora (patrz endomorfizm sprzężony ):

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {reklama} _ {\ Omega} ^ {0} A = A, \ quad \ nazwa operatora {reklama} _{\Omega}^{k+1}A=[\Omega,\nazwa operatora {ad} _{\Omega}^{k}A],}$

podczas gdy B _j to liczby Bernoulliego z B ₁ = −1/2 .

Wreszcie, kiedy ta rekurencja zostanie opracowana jawnie, możliwe jest wyrażenie Ω _n ( t ) jako liniowej kombinacji całek n -krotnych n - 1 zagnieżdżonych komutatorów obejmujących n macierzy A :

${\ Displaystyle \ Omega _ {n} (t) = \ suma _ {j = 1} ^ {n- 1}{\frac {B_{j}}{j!}}\sum _{k_{1}+\cdots +k_{j}=n-1 \na szczycie k_{1}\geq 1,\ldots ,k_ {j}\geq 1}\int _{0}^{t}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{1}}(\tau)}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_ {2}}(\tau )}\cdots \operatorname {ad} _{\Omega _{k_{j}}(\tau)}A(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2, }$

co staje się coraz bardziej skomplikowane z n .

Przypadek stochastyczny

Rozszerzenie do stochastycznych równań różniczkowych zwyczajnych

Dla rozszerzenia przypadku stochastycznego niech ${\ textstyle \ lewo (W_ {t} \ prawo) _ {t \ w [0, T]}}$ będzie za ${\ textstyle \mathbb {R} ^{q}}$ -wymiarowy ruch Browna , ${\textstyle q\in \mathbb {N} _ {>0}}$ , w przestrzeni prawdopodobieństwa ${\textstyle \left(\Omega,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$ ze skończonym horyzontem czasowym ${\textstyle T>0}$ i naturalną filtracją. Rozważmy teraz stochastyczne równanie różniczkowe Itô z liniową macierzą o wartościach stochastycznych (z konwencją sumowania Einsteina po indeksie j )

${\ Displaystyle dX_ {t} = B_ {t} X_ {t} dt +A_{t}^{(j)}X_{t}dW_{t}^{j},\quad X_{0}=I_{d},\qquad d\in \mathbb {N} _{>0 },}$

gdzie $}$${\ textstyle B_ {\ cdot}, A _ {\ cdot} ^ {(1)}, \ kropki, A_ {\ cdot} ^ {(j$$są$$wartościach$ mierzalne procesy stochastyczne o ograniczonych i tożsamości . . Stosując to samo podejście, co w przypadku deterministycznym ze zmianami spowodowanymi ustawieniem stochastycznym, odpowiedni logarytm macierzowy okaże się procesem Itô, którego pierwsze dwa rzędy rozwinięcia są określone przez ${\ textstyle Y_ {t} ^ {(1)} = Y_ {t} ^ {(1,0)} + Y_ {t} ^ {(0,1)}}$ i ${\ Textstyle Y_ {t} ^ {(2)} = Y_ {t} ^ {(2,0)} + Y_ {t} ^ { (1,1)}+Y_{t}^{(0,2)}}$ , gdzie z konwencją sumowania Einsteina nad i oraz j

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Y_ {t} ^ {(0,0)} i = 0, \\ Y_ {t} ^ {(1,0)} i = \ int _ {0} ^ {t }A_{s}^{(j)}\,dW_{s}^{j},\\Y_{t}^{(0,1)}&=\int _{0}^{t}B_{ s}\,ds,\\Y_{t}^{(2,0)}&=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\big (}A_{ s}^{(j)}{\big }}^{2}\,ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}A_{s}^ {(j)},\int _{0}^{s}A_{r}^{(i)}\,dW_{r}^{i}{\Big ]}dW_{s}^{j}, \\Y_{t}^{(1,1)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{ 0}^{s}A_{r}^{(j)}\,dW_{r}{\Duży ]}\,ds+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{t} {\Big [}A_{s}^{(j)},\int _{0}^{s}B_{r}\,dr{\Big ]}\,dW_{s}^{j},\ \Y_{t}^{(0,2)}&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{t}{\Big [}B_{s},\int _{0 }^{s}B_{r}\,dr{\Big ]}\,ds.\end{wyrównane}}}$

Konwergencja ekspansji

W ustawieniu stochastycznym zbieżność będzie teraz podlegać czasowi zatrzymania ${\ textstyle \ tau},$ a pierwszy wynik zbieżności jest określony wzorem: τ { \ textstyle \ tau}

Przy poprzednim założeniu współczynników istnieje również silne rozwiązanie ${\ textstyle X = (X_ {t}) _ {t \ in [0, T]}}$ jako ściśle dodatni czas zatrzymania taki, że: ${\ textstyle \ tau \ równoważnik T}$

1. 
   ${\ textstyle X_ {t}}$ ma logarytm rzeczywisty ${\ textstyle Y_ {t}}$ do czasu ${\ textstyle \ tau}$ , tj.

   ${\ Displaystyle X_ {t} = e ^ {Y_ {t}}, \ qquad 0 \ równoważnik t <\ tau;}$

2. 
   następująca reprezentacja zachodzi

   ${\ Displaystyle Y_ {t} = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} Y_ {t} ^ {(n)}, \ qquad 0 \ równoważnik t <\ tau ,} gdzie Y ($
   

   n $Y ^ {(n)}}$ to n -ty wyraz w stochastycznym rozwinięciu Magnusa, jak zdefiniowano poniżej we wzorze na rozwinięcie Magnusa w podrozdziale;

   $τ$ pewno:
3. istnieje $_ _{T},\kropki ,\|A^{(q)}\|_{T},\|B\|_{T},T,d} ,$ C zależna gdzie
   ${\ Textstyle \|A_ {\cdot}\|_{T}=\|\|A_{t}\|_{F}\|_{L^{\infty }(\Omega \times [0,T])}}$ , takie, że

   ${\ Displaystyle \ mathbb {P} (\ tau \ równoważnik t) \ równoważnik Ct, \ qquad t \ w [0, T].}$

Formuła ekspansji Magnusa

Ogólny wzór na rozwinięcie dla stochastycznego rozwinięcia Magnusa jest określony wzorem:

${\ Displaystyle Y_ {t} = \ suma _ {n = 0} ^{\infty}Y_{t}^{(n)}\quad {\text{with}}\quad Y_{t}^{(n)}:=\sum _{r=0}^{n} Y_{t}^{(r,nr)},}$

gdzie termin ogólny ${\ textstyle Y ^ {(r, nr)}}$ jest procesem Itô w postaci:

${\ Displaystyle Y_ {t} ^ {(r, nr)} = \ int _ {0} ^ {t} \ mu _ {s} ^ {r, nr} ds + \ int _ {0} ^ {t} \ sigma _{s}^{r,nr,j}dW_{s}^{j},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\ r=0,\dots ,n,}$

Warunki są definiowane rekurencyjnie jako ${\ textstyle \ sigma ^ {r, nr, j}, \ mu ^ {r, nr}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ sigma _ {s} ^ {r, nr, j} i: = \ suma _ { i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r-1,nr,i}{\big (}A^{(j )}{\big )},\\\mu _{s}^{r,nr}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}} {i!}}S_{s}^{r,nr-1,i}(B)-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{q}\sum _{i =0}^{n-2}{\frac {\beta _{i}}{i!}}\suma _{q_{1}=2}^{r}\suma _{q_{2}=0 }^{nr}S^{r-q_{1},nr-q_{2},i}{\big (}Q^{q_{1},q_{2},j}{\big )}, \end{wyrównane}}}$

z

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} Q_ {s} ^ {q_ {1}, q_ {2}, j}: = \ suma _ {i_ {1} = 2} ^ {q_ {1}} \ suma _ {i_{2}=0}^{q_{2}}\suma _{h_{1}=1}^{i_{1}-1}\suma _{h_{2}=0}^{i_{ 2}}&\suma _{p_{1}=0}^{q_{1}-i_{1}}\suma _{{p_{2}}=0}^{q_{2}-i_{2 }}\ \suma _{m_{1}=0}^{p_{1}+p_{2}}\ \suma_{{m_{2}}=0}^{q_{1}-i_{1 }-p_{1}+q_{2}-i_{2}-p_{2}}\\&{\Bigg (}{{\frac {S_{s}^{p_{1},p_{2} ,m_{1}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big)}}{({m_{1}}+1)!} }{\frac {S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1},q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big ( }\sigma _{s}^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )}}{({m_{2}}+1)!} }}\\&\qquad \qquad +{\frac {{\big [}S_{s}^{p_{1},p_{2},m_{1}}{\big (}\sigma _{s }^{i_{1}-h_{1},i_{2}-h_{2},j}{\big )},S_{s}^{q_{1}-i_{1}-p_{1 },q_{2}-i_{2}-p_{2},m_{2}}{\big (}\sigma _{s}^{h_{1},h_{2},j}{\big )}{\big ]}}{({m_{1}}+{m_{2}}+2)({m_{1}}+1)!{m_{2}}!}}{\Bigg ) },\end{wyrównane}}}$

oraz z operatorami S zdefiniowanymi jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} S_ {s} ^ {r-1, nr, 0} (A) i: = {\ rozpocząć {przypadki} A & {\ tekst {jeśli}} r = n = 1, \ \0&{\text{inaczej}},\end{przypadki}}\\S_{s}^{r-1,nr,i}(A)&:=\sum _{\begin{tablica}{c} (j_{1},k_{1}),\kropki ,(j_{i},k_{i})\w \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots +k_{i}=nr\end{tablica}}{\big [}Y_{s}^{(j_{1},k_{ 1})},{\big [}\dots ,{\big [}Y_{s}^{(j_{i},k_{i})},A_{s}{\big ]}\dots {\ duży ]}{\duży ]}\\&=\suma _{\begin{tablica}{c}(j_{1},k_{1}),\kropki ,(j_{i},k_{i}) \in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots k_{i}=nr\end {tablica}}\operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{1},k_{1})}}\circ \cdots \circ \operatorname {ad} _{Y_{s}^{( j_{i},k_{i})}}(A_{s}),\qquad i\in \mathbb {N} .\end{wyrównane}}}$

Aplikacje

Od lat sześćdziesiątych ekspansja Magnusa jest z powodzeniem stosowana jako narzędzie perturbacyjne w wielu dziedzinach fizyki i chemii, od fizyki atomowej i molekularnej po jądrowy rezonans magnetyczny i elektrodynamikę kwantową . Od 1998 roku jest również używany jako narzędzie do konstruowania praktycznych algorytmów całkowania numerycznego macierzowych liniowych równań różniczkowych. Ponieważ dziedziczą po rozwinięciu Magnusa zachowanie jakościowych cech problemu, odpowiadające im schematy są prototypowymi przykładami geometrycznych integratorów numerycznych .

Zobacz też

• Formuła Bakera-Campbella-Hausdorffa
• Pochodna mapy wykładniczej

Notatki

• Magnus, W. (1954). „O wykładniczym rozwiązaniu równań różniczkowych dla operatora liniowego”. Kom. czysta aplikacja matematyka _ VII (4): 649–673. doi : 10.1002/cpa.3160070404 .
• Blanes, S.; Casas, F.; Oteo, JA; Ros, J. (1998). „Rozszerzenia Magnusa i Fera dla macierzowych równań różniczkowych: problem zbieżności”. J. Fiz. O: Matematyka. gen . 31 (1): 259–268. Bibcode : 1998JPhA...31..259B . doi : 10.1088/0305-4470/31/1/023 .
•    Iserles, A.; Nørsett, SP (1999). „O rozwiązywaniu liniowych równań różniczkowych w grupach Liego”. Phil. Trans. R. Soc. Londyn. A. _ 357 (1754): 983–1019. Bibcode : 1999RSPTA.357..983I . CiteSeerX 10.1.1.15.4614 . doi : 10.1098/rsta.1999.0362 . S2CID 90949835 .
•   Blanes, S.; Casas, F.; Oteo, JA; Ros, J. (2009). „Rozszerzenie Magnusa i niektóre z jego zastosowań” . fizyka przedstawiciel _ 470 (5–6): 151–238. ar Xiv : 0810.5488 . Bibcode : 2009PhR...470..151B . doi : 10.1016/j.physrep.2008.11.001 . S2CID 115177329 .
•   Kamm, K.; Pagliarani, S.; Pascucci, A. (2021). „O rozszerzeniu Stochastic Magnus i jego zastosowaniu do SPDE”. Journal of Scientific Computing . 89 (3): 56. arXiv : 2001.01098 . doi : 10.1007/s10915-021-01633-6 . S2CID 211259118 .