Integrator geometryczny

W matematycznym polu numerycznych równań różniczkowych zwyczajnych , integrator geometryczny jest metodą numeryczną, która zachowuje geometryczne właściwości dokładnego przebiegu równania różniczkowego.

Przykład wahadła

Możemy umotywować badanie integratorów geometrycznych, rozważając ruch wahadła .

$i$ że mamy wahadło, którego bob ma masę pręt jest bezmasowy o długości $ell = 1}$ . Przyjmij przyspieszenie grawitacyjne jako ${\ displaystyle g = 1}$ . $Oznacz$ przez $_$ pręta pionu The Hamiltonian układu, suma jego energii kinetycznej i potencjalnej , wynosi

{\ Displaystyle H (q, p) = T (p) + U (q) = {\ Frac { 1}{2}}p^{2}-\cos q,}

co daje równania Hamiltona

{\ Displaystyle ({\ kropka {q}}, {\ kropka {p}}) = (\ częściowe H / \ częściowe p, - \ częściowe H / \ częściowe q) = (p, - \ sin q). \ ,}

$Naturalne$ przyjęcie konfiguracyjnej wszystkich jako ${\ Displaystyle (q, p)}$ $jednostkowego$ $,$ że leży na cylindrze ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {1} \ razy \ mathbb {R}}$ . Jednak weźmiemy ${\ Displaystyle (q, p) \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$ , po prostu dlatego, że ${\ Displaystyle (q, p)} -$ przestrzeń jest wtedy łatwiejsza do wykreślenia. zdefiniuj ${\ Displaystyle z (t) = (q (t), p (t)) ^ {\ operatorname {T}}}$ i ${\ Displaystyle f (z) = (p, - \ sin q) ^ {\ operatorname {T}}}$ . Poeksperymentujmy, używając prostych metod numerycznych, aby zintegrować ten system. Jak zwykle wybieramy stały rozmiar kroku, $=z(kh)}$ dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej $:$ z ${$ $\ displaystyle z_ {k}$ . Używamy następujących metod.

{\ Displaystyle z_ {k + 1} = z_ {k} + hf (z_ {k}) \,}

( wyraźny Euler ),

{\ Displaystyle z_ {k + 1} = z_ {k} + hf (z_ {k + 1}) \,}

( domniemany Euler ),

{\ Displaystyle Z_ {k + 1} = z_ {k} + hf (q_ {k}, p_ {k + 1}) \,}

( symplektyczny Euler ),

{\ Displaystyle z_ {k + 1} = z_ {k} + hf ((z_ {k + 1} + z_ {k })/2)\,}

(niejawna reguła punktu środkowego).

(Zauważ, że symplektyczna metoda Eulera traktuje q przez jawną i przez $niejawną$ metodę Eulera)

Obserwacja, że jest stała wzdłuż krzywych rozwiązań równań Hamiltona, pozwala nam opisać dokładne trajektorie układu: są to krzywe poziomów $p$ / $^ { 2}/2-\cos q}$ p . Wykreślamy w , $trajektorie i numeryczne$ układu. Dla jawnych i niejawnych metod Eulera przyjmujemy ₀₀ ${\ Displaystyle h = 0,2}$ i odpowiednio z = (0,5, 0) i (1,5, 0); dla pozostałych dwóch metod bierzemy ${\ displaystyle h = 0,3}$ i z = (0, 0,7), (0, 1,4) i (0, 2,1).

Wahadło proste: trajektorie

Wyraźna (odp. niejawna) metoda Eulera wychodzi spiralnie z (odp. do) pochodzenia. Pozostałe dwie metody wykazują prawidłowe zachowanie jakościowe, przy czym ukryta reguła punktu środkowego zgadza się z dokładnym rozwiązaniem w większym stopniu niż symplektyczna metoda Eulera.

Przypomnijmy, że dokładny przepływ układu Hamiltona z jednym stopniem swobody zachowuje powierzchnię w tym sensie, że ${\ displaystyle \ phi _ {t}}$

_

_ wszystko

{\ displaystyle t}

.

Tę formułę można łatwo zweryfikować ręcznie. W naszym przykładzie wahadła widzimy, że przepływ liczbowy ${\ Displaystyle \ Phi _ {{\ operatorname {eE}}, h}: z_ {k} \ mapsto z_ {k +1}}$ jawnej metody Eulera nie zachowuje obszaru; mianowicie.,

{\ Displaystyle \ det {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy (q_ {0}, p_ {0})}} \ Phi _ {{\ operatorname {eE}}, h} (z_ {0}) = { \begin{vmatrix}1&h\\-h\cos q_{0}&1\end{vmatrix}}=1+h^{2}\cos q_{0}.}

Podobne obliczenie można przeprowadzić dla niejawnej metody Eulera, gdzie wyznacznik jest

{\ Displaystyle \ det {\ Frac {\ częściowy}} {\ częściowy (q_ {0}, p_ {0})}} \ Phi _ {{\ operatorname {iE}}, h} (z_ {0}) = ( 1+h^{2}\cos q_{1})^{-1}.}

Jednak symplektyczna metoda Eulera zachowuje obszar:

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} 1 i - h \\ 0 i 1 \ koniec { pmatrix}}{\frac {\częściowy}}{\częściowy (q_{0},p_{0})}}\Phi _{{\mathrm {sE}},h}(z_{0})={\begin {pmatrix}1&0\\-h\cos q_{0}&1\end{pmatrix}},}

więc ${\ Displaystyle \ det (\ częściowe \ Phi _ {{\ operatorname {sE}}, h} / \ częściowe (q_ {0}, p_{0}))=1}$ . Niejawna reguła punktu środkowego ma podobne właściwości geometryczne.

Podsumowując: przykład wahadła pokazuje, że poza tym, że jawne i ukryte metody Eulera nie są dobrym wyborem metody rozwiązania problemu, symplektyczna metoda Eulera i niejawna reguła punktu środkowego dobrze zgadzają się z dokładnym przepływem systemu, z zgadzającą się regułą punktu środkowego uważniej. Co więcej, te dwie ostatnie metody chronią obszar, podobnie jak dokładny przepływ; są to dwa przykłady integratorów geometrycznych (w rzeczywistości symplektycznych ).

Metoda ruchomej klatki

Metoda ruchomej ramki może być wykorzystana do konstruowania metod numerycznych, które zachowują symetrie Liego ODE. Istniejące metody, takie jak Runge-Kutta, można modyfikować za pomocą metody ruchomej klatki, aby uzyskać wersje niezmienne.

Zobacz też

Dalsza lektura

Włos, Ernst; Lubich, chrześcijanin; Wanner, Gerhard (2002). Geometryczne całkowanie numeryczne: algorytmy zachowujące strukturę dla równań różniczkowych zwyczajnych . Springer-Verlag. ISBN 3-540-43003-2 .
Leimkuhler, Ben; Rzesza, Sebastian (2005). Symulacja dynamiki hamiltonowskiej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-77290-7 .
Budd, CJ; Piggott, lekarz medycyny (2003). „Całkowanie geometryczne i jej zastosowania”. Podręcznik analizy numerycznej . Tom. 11. Elsevier. s. 35–139. doi : 10.1016/S1570-8659(02)11002-7 . ISBN 9780444512475 .
Kim, Pilwon (2007). „Inwariantyzacja schematów numerycznych przy użyciu ruchomych ramek”. Matematyka numeryczna BIT. Tom. 47, nie. 3. Springera. s. 525–546. doi : 10.1007/s10543-007-0138-8 .