Integrator symplektyczny

W matematyce integrator symplektyczny (SI) jest numerycznym schematem całkowania układów hamiltonowskich . Integratory symplektyczne tworzą podklasę integratorów geometrycznych , które z definicji są przekształceniami kanonicznymi . Są szeroko stosowane w dynamice nieliniowej , dynamice molekularnej , metodach elementów dyskretnych , fizyce akceleratorów , fizyce plazmy , fizyce kwantowej i mechanika nieba .

Wstęp

Integratory symplektyczne są przeznaczone do numerycznego rozwiązywania równań Hamiltona , które czytają

${\ Displaystyle {\ kropka {p}} = - {\ Frac {\ częściowe H} {\ częściowe q}} \ quad {\ mbox {i }} \ quad {\ kropka {q}} = {\ frac {\ częściowe H} {\ częściowe p}},}$

gdzie $współrzędne$$współrzędne$ pozycji, i $jest$ hamiltonianem Zbiór współrzędnych $nazywany$ kanonicznymi . (Zobacz mechanikę Hamiltona , aby uzyskać więcej informacji).

Ewolucja w czasie równań Hamiltona jest symplektomorfizmem , co oznacza, że ​​zachowuje symplektyczną postać 2-formalną. ${\ Displaystyle dp \ klin dq}$ . Schemat numeryczny jest integratorem symplektycznym, jeśli zachowuje również tę formę 2.

Integratory symplektyczne mogą również posiadać, jako wielkość zachowaną, hamiltonian, który jest nieco zaburzony w stosunku do pierwotnego ( prawdziwy tylko dla małej klasy prostych przypadków ). Dzięki tym zaletom schemat SI był szeroko stosowany do obliczeń długoterminowej ewolucji chaotycznych układów hamiltonowskich, począwszy od problemu Keplera po klasyczne i półklasyczne symulacje dynamiki molekularnej .

Większość zwykłych metod numerycznych, takich jak prymitywny schemat Eulera i klasyczny schemat Runge-Kutty , nie jest integratorami symplektycznymi.

Metody konstruowania algorytmów symplektycznych

Metody rozszczepiania hamiltonianów rozłącznych

Powszechnie stosowaną klasę integratorów symplektycznych tworzą metody rozszczepiania.

Załóżmy, że hamiltonian jest separowalny, co oznacza, że ​​można go zapisać w postaci

${\ Displaystyle H (p, q) = T (p) + V (q).}$

 

 

 

 

()

Dzieje się tak często w mechanice Hamiltona, gdzie T jest energią kinetyczną , a V energią potencjalną .

Dla uproszczenia notacji wprowadźmy symbol $oznaczający$ współrzędne kanoniczne, Wtedy podany we wstępie układ równań Hamiltona można wyrazić jednym wyrażeniem jako

${\ Displaystyle {\ kropka {z}} = \ {z, H (z) \},}$

 

 

 

 

()

gdzie ${\ Displaystyle \ {\ cdot, \ cdot \}}$ jest nawiasem Poissona . $,$ operator który zwraca Poissona _ _ równanie Hamiltona można jeszcze bardziej uprościć

${\ Displaystyle {\ kropka {z}} = D_ {H} z.}$

Formalne rozwiązanie tego układu równań ma postać wykładniczej macierzy :

${\ Displaystyle z (\ tau) = \ exp (\ tau D_ {H}) z (0).}$

 

 

 

 

()

Zwróć uwagę na dodatniość macierzy wykładniczej ${\ displaystyle \ tau D_ {H}}$

Gdy hamiltonian ma postać równania ( 1 ), rozwiązanie ( 3 ) jest równoważne

${\ Displaystyle z (\ tau) = \ exp [\ tau (D_ {T} + D_ {V})] z (0).}$

 

 

 

 

()

Schemat $_$ 4 _ _ iloczyn operatorów jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ exp [\ tau (D_ {T} + D_ {V})] & = \ prod _ {i = 1} ^ {k} \ exp (c_ {i} \ tau D_ {T})\exp(d_{i}\tau D_{V})+O(\tau ^{k+1})\\&=\exp(c_{1}\tau D_{T})\exp (d_{1}\tau D_{V})\kropki \exp(c_{k}\tau D_{T})\exp(d_{k}\tau D_{V})+O(\tau ^{k +1}),\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

gdzie $gdzie$ są liczbami $rzeczywistymi$ , $∑$$\ textstyle \ suma _ {i = 1} ^ {k} c_ {i} = \ suma _ {i = 1} ^ {k} d_ {i} =1}$ rzędem integratora i . Zauważ, że każdy z operatorów ${\ Displaystyle \ exp (c_ {i} \ tau D_ {T})}$ i $\ Displaystyle \ exp (d_ {i} \ tau D_ {V}) }$ zapewnia odwzorowanie symplektyczne , więc ich iloczyn występujący po prawej stronie ( 5 ) również stanowi odwzorowanie symplektyczne.

ponieważ ${\ Displaystyle D_ {T} ^ {2} z = \ {\ {z, T \ }, T \} = \ {({\ kropka {q}}, 0), T \} = (0,0)}$ dla wszystkich możemy stwierdzić, że ${\ displaystyle z}$

${\ Displaystyle D_ {T} ^ {2} = 0.}$

 

 

 

 

()

Używając szeregu Taylora, można wyrazić jako ${\ Displaystyle \ exp (aD_ {T})}$

$\ Displaystyle \ exp (aD_ {T}) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ Frac {(aD_ {T}) ^ {n}} {n!}}}$

 

 

 

 

()

gdzie $liczbą$ rzeczywistą. Łącząc ( 6 ) i ( 7 ) i stosując to samo rozumowanie dla , $D_ {T$ dla , otrzymujemy $}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} \ exp (aD_ {T}) & = 1 + aD_ {T}, \\\ exp (aD_ {V}) & = 1 + aD_ {V}. \ koniec {przypadków} }}$

 

 

 

 

()

Konkretnie, ${\ Displaystyle \ exp (c_ {i} \ tau D_ {T})}$ daje odwzorowanie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} q \\ p \ koniec {pmatrix}} \ mapsto {\ rozpocząć {pmatrix} q + \ tau c_{i}{\frac {\częściowy T}{\częściowy p}}(p)\\p\end{pmatrix}},}$

i daje ${\ Displaystyle \ exp (d_ {i} \ tau D_ {V})}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {pmatrix} q \\ p \ koniec {pmatrix}} \ mapsto {\ rozpocząć {pmatrix} q \\ p- \ tau d_ {i} {\ Frac {\ częściowe V} {\ częściowe q }}(q)\\\koniec{pmacierzy}}.}$

Zauważ, że obie te mapy są praktycznie obliczalne.

Przykłady

Uproszczona postać równań (w kolejności wykonania) to:

${\ Displaystyle q_ {i + 1} = q_ {i} + c_ {i} {\ Frac {p_ {i + 1}}} {m}} t}$

${\ Displaystyle p_ {i + 1} = p_ {i} + d_ {i} F (q_ {i}) t}$

Po przeliczeniu na współrzędne Lagrange'a:

${\ Displaystyle x_ {i + 1} = x_ {i} + c_ {i} v_ {i + 1} t}$

${\ Displaystyle v_ {i + 1} = v_ {i} + d_ {i} a (x_ {i}) t}$

gdzie jest $\ Displaystyle$ siły w punkcie , za ${$$(x)}$ jest wektorem przyspieszenia w punkcie $\ Displaystyle F (x$ i fa ( x ${\ displaystyle m}$ jest skalarną wielkością masy.

Poniżej podano kilka integratorów symplektycznych. Ilustracyjnym sposobem ich wykorzystania jest rozważenie cząstki o położeniu i pędzie $displaystyle p}$$\$ .

Aby zastosować krok czasowy o wartościach ${\ Displaystyle c_ {1,2,3}, d_ {1,2,3}}$ cząstki, wykonaj następujące czynności: do

iteracyjnie:

• Zaktualizuj pozycję $ja$ , dodając do niej jej (wcześniej zaktualizowaną) prędkość ${\ displaystyle i}$ przez $\ displaystyle c_ {i}}$
• Zaktualizuj prędkość ${$ , dodając do niej jej przyspieszenie (w zaktualizowanej pozycji) pomnożone przez $\ displaystyle d_ {i}}$

Przykład pierwszego rzędu

Symplektyczna metoda Eulera jest integratorem pierwszego rzędu ze współczynnikami i współczynnikami ${\ displaystyle k = 1}$

${\ Displaystyle c_ {1} = d_ {1} = 1.}$

Zauważ, że powyższy algorytm nie działa, jeśli potrzebna jest odwracalność w czasie. Algorytm musi zostać zaimplementowany w dwóch częściach, jednej dla dodatnich kroków czasowych, drugiej dla ujemnych kroków czasowych.

Przykład drugiego rzędu

Metoda Verleta jest integratorem drugiego rzędu ze współczynnikami i współczynnikami ${\ displaystyle k = 2}$

${\ Displaystyle c_ {1} = 0, \ qquad c_ {2} = 1, \ qquad d_ {1} = d_ {2} = {\ tfrac {1} {2}}.}$

Ponieważ powyższy algorytm jest symetryczny w czasie ${\ displaystyle c_ {1} = 0} .$ Algorytm składa się z 3 kroków, a krok 1 i 3 są dokładnie takie same, więc wersja z czasem dodatnim może być użyta dla czasu ujemnego.

Przykład trzeciego rzędu

Całkarka symplektyczna trzeciego rzędu (z ) została odkryta przez Ronalda Rutha w 1983 roku. Jedno z wielu rozwiązań podaje ${\ displaystyle k = 3}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c_ {1} & = 1, & c_ {2} & = - {\ tfrac {2} {3}}, & c_ {3} i = {\ tfrac {2} {3} },\\d_{1}&=-{\tfrac {1}{24}},&d_{2}&={\tfrac {3}{4}},&d_{3}&={\tfrac {7 }{24}}.\end{wyrównane}}}$

Przykład czwartego rzędu

Integrator czwartego rzędu (z $został$ również odkryty przez Rutha w 1983 roku i rozprowadzany prywatnie wśród ówczesnej społeczności akceleratorów Zostało to opisane w żywym artykule przeglądowym Forest. Ten integrator czwartego rzędu został opublikowany w 1990 roku przez Foresta i Rutha, a także niezależnie odkryty przez dwie inne grupy mniej więcej w tym samym czasie.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} c_ {1} & = c_ {4} = {\ Frac {1} {2 (2 -2^{1/3})}},&c_{2}&=c_{3}={\frac {1-2^{1/3}}{2(2-2^{1/3}) }},\\d_{1}&=d_{3}={\frac {1}{2-2^{1/3}}},&d_{2}&=-{\frac {2^{1 /3}}{2-2^{1/3}}},\quad d_{4}=0.\end{wyrównane}}}$

Aby określić te współczynniki, można zastosować wzór Bakera – Campbella – Hausdorffa . W szczególności Yoshida podaje eleganckie wyprowadzenie współczynników dla integratorów wyższego rzędu. Później Blanes i Moan dalej rozwijali partycjonowane metody Runge-Kutty do integracji systemów z rozdzielnymi hamiltonianami z bardzo małymi stałymi błędów.

Metody rozszczepiania dla ogólnych hamiltonianów nierozdzielnych

Ogólne nierozdzielne hamiltoniany można również jawnie i symplektycznie zintegrować.

Aby to zrobić, Tao wprowadził ograniczenie, które łączy ze sobą dwie kopie przestrzeni fazowej, aby umożliwić wyraźny podział takich systemów. Chodzi , $symulować$${\ Displaystyle {\ bar {H}} (q, p, x, y) = H (q, y) + H (x, p )+\omega \left(\left\|qx\right\|_{2}^{2}/2+\left\|py\right\|_{2}^{2}/2\right)}$ , którego rozwiązanie jest zgodne z rozwiązaniem ${\ Displaystyle H (Q, P)}$ w tym sensie, że ${\ Displaystyle q (t) = x (t) = Q (t), p (t) = y (t) = P (t )}$ .

jawnej integracji symplektycznej, ponieważ można go podzielić na sumę trzech sub-hamiltonianów, $p)}$$\ Displaystyle H_ {A} = H (q, y)}$ i ${\ Displaystyle H_ {C} = \ omega \ lewo (\ lewo \ | qx \ prawo \ | _ {2} ^ {2} / 2 + \ lewo \ | py \ prawo \|_{2}^{2}/2\prawo)}$ . Dokładne rozwiązania wszystkich trzech pod-Hamiltonian można uzyskać jawnie: oba rozwiązania odpowiadają przesunięciom niedopasowanej pozycji i pędu, a ${\ displaystyle H_ {A}, H_ {$$} C}}$ odpowiada transformacji liniowej. Aby symplektycznie zasymulować system, po prostu komponuje się te mapy rozwiązań.

Aplikacje

W fizyce plazmy

W ostatnich dziesięcioleciach integrator symplektyczny w fizyce plazmy stał się aktywnym tematem badawczym, ponieważ proste zastosowania standardowych metod symplektycznych nie odpowiadają potrzebom wielkoskalowych symulacji plazmy, które umożliwia sprzęt komputerowy w skali od peta do eksa. Specjalne algorytmy symplektyczne muszą być zwykle projektowane, wykorzystując specjalne struktury badanego problemu fizycznego. Jednym z takich przykładów jest dynamika cząstek naładowanych w polu elektromagnetycznym. W przypadku kanonicznej struktury symplektycznej hamiltonian dynamiki jest

$${\ Displaystyle H ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {x}}) = {\ Frac {1} {2}} \left({\boldsymbol {p}}-{\boldsymbol {A}}\right)^{2}+\phi ,}$$

których ${\textstyle {\boldsymbol {p}}}$ -zależność i $-zależność nie$ rozdzielne, a standardowe jawne metody symplektyczne nie mają zastosowania. Jednak w przypadku symulacji na dużą skalę na masowo równoległych klastrach preferowane są metody jawne. $textstyle {\boldsymbol {p}}}$ , możemy zbadać konkretny sposób, w jaki -zależność i ${\$ -zależności są uwikłane w ten hamiltonian i spróbuj zaprojektować algorytm symplektyczny tylko dla tego lub innego typu problemu. Po pierwsze, zauważamy, że ${\boldsymbol {p}}}$ kwadratowa, dlatego symplektyczna metoda Eulera pierwszego rzędu zawarta w $textstyle$ jest w rzeczywistości jawna. To właśnie jest używane w kanonicznym symplektycznym cząstek w komórce (PIC). Aby zbudować jawne metody wysokiego rzędu, zauważamy ponadto, $że$ i ${\textstyle {\boldsymbol {x}}}$ -zależność w tym ${\ textstyle H ({\ boldsymbol {p}}, {\ boldsymbol {x}})}$ są rozdzielne iloczynowo, 2. i Wyraźne algorytmy symplektyczne trzeciego rzędu można konstruować za pomocą funkcji generujących, a także jawne integratory symplektyczne wyższego rzędu dla pól elektromagnetycznych zależnych od czasu można również konstruować przy użyciu technik Runge-Kutty.

Bardziej elegancką i wszechstronną alternatywą jest spojrzenie na następującą niekanoniczną symplektyczną strukturę problemu:

$${\ Displaystyle i_ {({\ kropka {\ boldsymbol {x}}}, {\ kropka {\ boldsymbol {v}}})} \ Omega = -dH, \ \ \ \ Omega = d ({\ boldsymbol {v }}+{\boldsymbol {A}})\klin d{\boldsymbol {x}},\ \ \ H={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {v}}^{2}+\ fi.}$$

Tutaj jest $niekanoniczną$ formą symplektyczną. Nie wiadomo, czy istnieje ogólny integrator symplektyczny dla niestałej, niekanonicznej struktury symplektycznej, jawnej lub ukrytej. Jednak dla tego konkretnego problemu można skonstruować rodzinę wyraźnych niekanonicznych integratorów symplektycznych wysokiego rzędu przy użyciu metody rozdzielania He. Podział ${\ textstyle H}$ na 4 części,

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H& = H_ {x} + H_ {y} + H_ {z} + H_ {\ fi}, \\ H_ {x} i = {\ Frac {1} {2}} v_{x}^{2},\ \ H_{y}={\frac {1}{2}}v_{y}^{2},\ \ H_{z}={\frac {1}{2 }}v_{z}^{2},\ \ H_{\phi }=\phi ,\end{wyrównane}}}$$

nieoczekiwanie odkrywamy, że dla każdego podsystemu, np.

$${\ Displaystyle i_ {({\ kropka {\ pogrubiony symbol {x}}}, {\ kropka {\ pogrubiony symbol {v}}})} \ Omega = -dH_ {X}}$$

I

$${\ Displaystyle i_ {({\ kropka {\ pogrubiony symbol {x}}}, {\ kropka {\ pogrubiony symbol {v}}})} \ Omega = - dH_ {\phi},}$$

mapę rozwiązania można zapisać jawnie i dokładnie obliczyć. Następnie można skonstruować jawne, niekanoniczne algorytmy symplektyczne wysokiego rzędu przy użyciu różnych kompozycji. Niech ${\textstyle \ Theta _ {x}, \ Theta _ {y}, \ Theta _ {z}}$ i ${\ textstyle \ Theta _ {\ phi}}$ oznaczają dokładnie mapy rozwiązań dla 4 podsystemów. Jest to schemat symplektyczny pierwszego rzędu

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Theta _ {1} \ lewo (\ Delta \ tau \ prawej) = \ Theta _ {x} \ lewo (\ Delta \ tau \ prawej) \ Theta _ {y} \ lewo (\Delta \tau \right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau \right)\Theta _{\phi}\left(\Delta \tau \right)~.\end{aligned}}}$$

Symetryczny schemat symplektyczny drugiego rzędu to:

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Theta _ {2} \ lewo (\ Delta \ tau \ prawej) & = \ Theta _ {x} \ lewo (\ Delta \ tau / 2\right)\Theta _{y}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{z}\left(\Delta \tau /2\right)\Theta _{\phi }\left( \Delta \tau \right)\\&\Theta _{z}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{y}\left(\Delta t/2\right)\Theta _{x} \left(\Delta t/2\right)\!,\end{wyrównane}}}$$

który jest zwyczajowo zmodyfikowanym podziałem Stranga. 2 $+ 1)}$$-tego$ -tego schematu rzędu można zbudować ze rzędu metodą potrójnego skoku

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ Theta _ {2 (l + 1)} (\ Delta \ tau) & = \ Theta _ {2l} (\ alfa _ {l} \ Delta \ tau) \ Theta _ { 2l}(\beta _{l}\Delta \tau )\Theta _{2l}(\alpha _{l}\Delta \tau )~,\\\alpha _{l}&=1/(2-2 ^{1/(2l+1)})~,\\\beta _{l}&=1-2\alpha _{l}~.\end{wyrównane}}}$$

algorytmach PIC ( geometrycznych cząstek w komórce ) zachowujących strukturę .

Zobacz też

• Dryf energii
• Integrator multisymplektyczny
• Integrator wariacyjny
• Integracja Verleta

•   Leimkuhler, Ben; Rzesza, Sebastian (2005). Symulacja dynamiki hamiltonowskiej . Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. ISBN 0-521-77290-7 .
•   Włos, Ernst; Lubich, chrześcijanin; Wanner, Gerhard (2006). Geometryczne całkowanie numeryczne: algorytmy zachowujące strukturę dla równań różniczkowych zwyczajnych (wyd. 2). Skoczek. ISBN 978-3-540-30663-4 .
• Kang, Feng; Qin, Mengzhao (2010). Symplektyczne algorytmy geometryczne dla układów hamiltonowskich . Skoczek.