Ogólne metody liniowe

Nie należy mylić z ogólnymi modelami liniowymi lub uogólnionymi modelami liniowymi .

Ogólne metody liniowe ( GLM ) to duża klasa metod numerycznych stosowanych do uzyskiwania numerycznych rozwiązań równań różniczkowych zwyczajnych . Obejmują one wieloetapowe Runge-Kutty , które wykorzystują pośrednie punkty kolokacji , a także liniowe metody wieloetapowe , które zapisują skończoną historię rozwiązania. John C. Butcher pierwotnie ukuł ten termin dla tych metod i napisał serię artykułów przeglądowych, rozdział w książce i podręcznik na ten temat. Jego współpracownik Zdzisław Jackiewicz ma również obszerny podręcznik na ten temat. Oryginalna klasa metod została pierwotnie zaproponowana przez Butchera (1965), Geara (1965) oraz Gragga i Stettera (1964).

Niektóre definicje

Metody numeryczne równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu przybliżają rozwiązania problemów z wartościami początkowymi postaci

${\ Displaystyle y '= f (t, y), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

Rezultatem są przybliżenia wartości w dyskretnych czasach ${i}}: y$${\ Displaystyle y (t)$ }

${\ Displaystyle y_ {i} \ około y (t_ {i}) \ quad {\ tekst {gdzie}} \ quad t_ {i} = t_ {0}+ tak,}$

gdzie h jest krokiem czasu (czasami określanym jako ${\ displaystyle \ Delta t}$ ).

Opis metody

W naszym opisie podążamy za Butcherem (2006), s. 189–190, chociaż zauważamy, że tę metodę można znaleźć gdzie indziej.

$.$ wykorzystują dwie liczby $całkowite$ , liczbę punktów czasowych w historii i punktów kolokacji W przypadku $się$ do klasycznych metod Runge-Kutty $,$ aw te sprowadzają do liniowych metod wieloetapowych

${\ Displaystyle Y_ {i}}$ i pochodne stopni są obliczane na podstawie przybliżeń , ${\ Displaystyle F_ {i}, i = 1,2, \ kropki s}$${\ Displaystyle y_ {i} ^ {[n-1]}, i = 1, \ kropki, r}$ , w czasie krok ${\ displaystyle n}$ :

${\ Displaystyle y ^ {[n-1]} = \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} y_ {1} ^ {[n-1]} \\ y_ {2} ^ {[n-1]} \\ \vdots \\y_{r}^{[n-1]}\\\end{macierz}}\right],\quad y^{[n]}=\left[{\begin{macierz}y_{1 }^{[n]}\\y_{2}^{[n]}\\\vdots \\y_{r}^{[n]}\\\end{macierz}}\right],\quad Y =\left[{\begin{matrix}Y_{1}\\Y_{2}\\\vdots \\Y_{s}\end{matrix}}\right],\quad F=\left[{\begin {macierz}F_{1}\\F_{2}\\\vdots \\F_{s}\end{macierz}}\right]=\left[{\begin{matrix}f(Y_{1})\ \f(Y_{2})\\\vdots \\f(Y_{s})\end{macierz}}\right].}$

$= [u_$ etapu są definiowane przez dwie macierze, $u ja jot ]$ U }

$\ Displaystyle Y_ {i} =$

a aktualizacja do czasu $jot$ definiowana przez dwie macierze, ${\ Displaystyle B = [b_ {ij}$ i ${ \displaystyle V=[v_{ij}]}$ :

${\ Displaystyle y_ {i} ^ {[n]} = \ suma _ {j = 1} ^ {s} b_ {ij} hF_ {j} + \ suma _ {j = 1} ^ {r} v_ {ij }y_{j}^{[n-1]},\qquad i=1,2,\kropki ,r.}$

Biorąc pod uwagę cztery macierze, można zwięźle zapisać odpowiednik obrazu Rzeźnika jako: ${\ displaystyle A, U, B}$ i ${\ displaystyle V}$

${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {macierz} Y \ \ y ^ {[n]}\end{macierz}}\right]=\left[{\begin{matrix}A\czasami I&U\orazami I\\B\orazami I&V\orazami I\end{macierz}}\right]\ left[{\begin{macierz}hF\\y^{[n-1]}\end{macierz}}\right],}$

gdzie ${\ displaystyle \ otimes}$ oznacza iloczyn tensorowy .

Przykłady

Przedstawiamy przykład opisany w (Butcher, 1996). Ta metoda składa się z jednego „przewidywanego” kroku i „skorygowanego” kroku, który wykorzystuje dodatkowe informacje o historii czasowej, jak również jedną wartość etapu pośredniego.

Wartość etapu pośredniego jest zdefiniowana jako coś, co wygląda tak, jakby pochodziło z liniowej metody wieloetapowej :

${\ Displaystyle y_ {n-1/2} ^ {*} = y_ {n-2} + h \ lewo ({\ Frac {9} {8}} f (y_ {n-1}) + {\ frac {3}{8}}f(y_{n-2})\prawo).}$

Początkowy „predyktor” wykorzystuje wartość etapu $/$$}}$ / 2 fragmenty historii czasu:

$\ Displaystyle y_ {n} ^ {*} = {\ Frac {28} {5}} y_ {n-1} - {\ Frac {23} {5}} y_ {n-2} + h \left({\frac {32}{15}}f(y_{n-1/2}^{*})-4f(y_{n-1})-{\frac {26}{15}}f (y_{n-2})\prawo),}$

a ostateczną aktualizację podaje:

${\ Displaystyle y_ {n} = {\ Frac {32}{31}} y_ {n-1} - {\ Frac {1} {31}} y_ {n-2} + h \ lewo ({\ Frac { 5}{31}}f(y_{n}^{*})+{\frac {64}{93}}f(y_{n-1/2}^{*})+{\frac {4} {31}}f(y_{n-1})-{\frac {1}{93}}f(y_{n-2})\prawo).}$

Zwięzła reprezentacja tabelaryczna dla tej metody jest dana przez:

${\ Displaystyle \ lewo [{\ rozpocząć {tablica} {ccc|cccc} 0&0&0&0&1& {\ Frac {9}{8}}& {\ Frac {3}{8}} \\ {\ Frac {32}{15} }&0&0&{\frac {28}{5}}&-{\frac {23}{5}}&-4&-{\frac {26}{15}}\\{\frac {64}{93}} &{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1}{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\\hline {\frac {64}{93}}&{\frac {5}{31}}&0&{\frac {32}{31}}&-{\frac {1 }{31}}&{\frac {4}{31}}&-{\frac {1}{93}}\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\\end{array}}\right].}$

Zobacz też

• Metody Runge-Kutty
• Liniowe metody wieloetapowe
• Metody numeryczne dla równań różniczkowych zwyczajnych

Notatki

•   Rzeźnik, John C. (styczeń 1965). „Zmodyfikowana wieloetapowa metoda numerycznej integracji równań różniczkowych zwyczajnych”. Dziennik ACM . 12 (1): 124–135. doi : 10.1145/321250.321261 . S2CID 36463504 .
•   Bieg, CW (1965). „Metody hybrydowe dla problemów z wartościami początkowymi w równaniach różniczkowych zwyczajnych”. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, seria B: Analiza numeryczna . 2 (1): 69–86. Bibcode : 1965SJNA....2...69G . doi : 10.1137/0702006 . hdl : 2027/uiuo.ark:/13960/t4rj60q8s . S2CID 122744897 .
•   Gragg, William B.; Hans J. Stetter (kwiecień 1964). „Uogólnione metody wieloetapowego predyktora-korektora”. Dziennik ACM . 11 (2): 188–209. doi : 10.1145/321217.321223 . S2CID 17118462 .
•   Włos, Ernst; Wanner . _ _ _ _ _ _ _ _ _ _

Linki zewnętrzne

• Ogólne metody liniowe