Metoda Newmark-beta

Metoda Newmark-beta jest metodą całkowania numerycznego używaną do rozwiązywania pewnych równań różniczkowych . Jest szeroko stosowany w numerycznej ocenie odpowiedzi dynamicznej struktur i brył, na przykład w analizie elementów skończonych do modelowania układów dynamicznych. Nazwa metody pochodzi od nazwiska Nathana M. Newmarka , byłego profesora inżynierii lądowej na Uniwersytecie Illinois w Urbana-Champaign , który opracował ją w 1959 roku do użytku w dynamice strukturalnej . Półdyskretyzowane równanie strukturalne jest układem równań różniczkowych zwyczajnych drugiego rzędu,

${\ Displaystyle M {\ ddot {u}} + C {\ kropka {u}} + f ^ {\ textrm {int}} (u) = f^{\textrm {ext}}\,}$

tutaj $jest$ macierzą mas, macierzą tłumienia, $Displaystyle f ^ {\ textrm {int}}}$$\$ i $ext}}}$${\ Displaystyle f ^ {\ textrm$ to odpowiednio siła wewnętrzna na jednostkę przemieszczenia i siły zewnętrzne.

Korzystając z twierdzenia o rozszerzonej wartości średniej , metoda Newmarka stwierdza, że ​​​​pierwszą pochodną po czasie (prędkość w równaniu ruchu ) można rozwiązać jako: ${\ displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle {\ kropka {u}} _ {n + 1} = {\ kropka {u}} _ {n} + \ Delta t ~ {\ ddot {u}} _ {\ gamma} \,}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ ddot {u}} _ {\ gamma} = (1- \ gamma) {\ ddot {u }}_ {n}+\gamma {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\równoważnik \gamma \równoważnik 1}$

W związku z tym

${\ Displaystyle {\ kropka {u}} _ {n + 1} = {\ kropka {u}} _ {n} + (1- \ gamma) \ Delta t ~ {\ ddot {u}} _ {n} +\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}.}$

Ponieważ jednak przyspieszenie również zmienia się w czasie, twierdzenie o rozszerzonej wartości średniej należy również rozszerzyć na drugą pochodną czasu, aby uzyskać prawidłowe przemieszczenie. Zatem,

${\ Displaystyle u_ {n + 1} = u_ {n} + \ Delta t ~ {\ kropka {u}} _ { n}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\Delta t^{2}~{\ddot {u}}_{\beta }}$

gdzie znowu

${\ Displaystyle {\ ddot {u}} _ {\ beta} = (1-2 \ beta) { \ddot {u}}_ {n}+2\beta {\ddot {u}}_{n+1}~~~~0\równik 2\beta \równoważnik 1}$

Zdyskretyzowane równanie strukturalne staje się

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {\ kropka {u}} _ {n + 1} = {\ kropka {u}} _ {n} + (1- \ gamma) \ Delta t ~ {\ ddot { u}}_{n}+\gamma \Delta t~{\ddot {u}}_{n+1}\\&u_{n+1}=u_{n}+\Delta t~{\kropka {u }}_{n}+{\frac {\Delta t^{2}}{2}}\left((1-2\beta){\ddot {u}}_{n}+2\beta {\ ddot {u}}_{n+1}\right)\\&M{\ddot {u}}_{n+1}+C{\dot {u}}_{n+1}+f^{\ textrm {int}}(u_{n+1})=f_{n+1}^{\textrm {ext}}\,\end{wyrównane}}}$

Wyraźny schemat różnic centralnych uzyskuje się przez ustawienie ${\ Displaystyle \ gamma = 0,5}$ i ${\ Displaystyle \ beta = 0}$

$beta = 0,25$ środkowego) uzyskuje się przez ustawienie { $}$

Analiza stabilności

${\ Displaystyle \$$tak$ czasowy integracji, że dla dowolnego , skończona odmiana wektora stanu ${\ displaystyle q_ {n}}$ w czasie ${\ displaystyle t_ {n}}$ indukuje tylko nierosnący wariacja wektora stanu ${\ Displaystyle q_ {n + 1}}$ obliczone w późniejszym czasie ${\ displaystyle t_ {n + 1}}$ . Załóżmy, że schemat całkowania w czasie jest

${\ Displaystyle q_ {n + 1} = A (\ Delta t) q_ {n} + g_ {n + 1} (\ delta t)}$

Stabilność liniowa jest równoważna ${\ Displaystyle \ rho (A (\ Delta t)) \ równoważnik 1}$ tutaj ${\ Displaystyle \ rho (A (\ Delta t)}}$ to promień widmowy macierzy aktualizacji ${\ Displaystyle A (\ Delta t)}$ .

Dla liniowego równania strukturalnego

${\ Displaystyle M {\ ddot {u}} + C {\ kropka {u}} + Ku = f ^ {\ textrm {ext}} \,}$

tutaj $jest$ macierzą sztywności Niech ${\ Displaystyle q_ {n} = [{\ kropka {u}} _ {n}, u_ {n}]}$ , macierz aktualizacji to ${\ Displaystyle A = H_ {1} ^ {-1} H_ {0}}$ i

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H_ {1} = {\ rozpocząć {bmatrix} M + \ gamma \ Delta tC& \gamma \Delta tK\\\beta \Delta t^{2}C&M+\beta \Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}M-(1 -\gamma )\Delta tC&-(1-\gamma )\Delta tK\\-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}C+\Delta tM&M-({\ frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}K\end{bmatrix}}\end{wyrównane}}}$

W przypadku nietłumionym ( $macierz$ aktualizacji można oddzielić, wprowadzając tryby własne $\ omega _ {i} t }x_{i}}$ układu strukturalnego, które są rozwiązywane przez uogólniony problem wartości własnych

${\ Displaystyle \ omega ^ {2} Mx = Kx \,}$

Dla każdego trybu własnego macierz aktualizacji staje się

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H_ {1} = {\ rozpocząć {bmatrix} 1 & \ gamma \ Delta t \ omega _ {i} ^ {2} \\ 0 i 1 + \ beta \ Delta t ^ {2} \ omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\qquad H_{0}={\begin{bmatrix}1&-(1-\gamma )\Delta t\omega _{i}^{2}\\ \Delta t&1-({\frac {1}{2}}-\beta )\Delta t^{2}\omega _{i}^{2}\end{bmatrix}}\end{wyrównane}}}$

Charakterystyczne równanie macierzy aktualizacji to

${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} - \ lewo (2- (\ gamma + {\ Frac {1} {2}}) \ eta _ {i} ^ {2} \ prawej) \ lambda + 1- (\ gamma -{\frac {1}{2}})\eta _{i}^{2}=0\,\qquad \eta _{i}^{2}={\frac {\omega _{i} ^{2}\Delta ^{2}}{1+\beta \omega _{i}^{2}\Delta ^{2}}}}$

Jeśli chodzi o stabilność, to mamy

Jawny schemat centralnej różnicy $\ Delta t \ równoważnik 2$ ) jest $\$ gdy $\ Displaystyle$ .

$bezwarunkowo$$punktu$ środkowego) i ) jest