Reguła trapezów (równania różniczkowe)

W analizie numerycznej i obliczeniach naukowych reguła trapezów jest numeryczną metodą rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych wywodzących się z reguły trapezów do obliczania całek. Reguła trapezów jest niejawną metodą drugiego rzędu, którą można uznać zarówno za metodę Runge-Kutty, jak i liniową metodę wieloetapową .

metoda

Załóżmy, że chcemy rozwiązać równanie różniczkowe

${\ Displaystyle y' = f (t, y).}$

Reguła trapezów jest określona wzorem

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\tfrac {1}{2}}h{\duży (}f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}){\duży)} ,}$

gdzie ${\ Displaystyle h = t_ {n + 1} -t_ {n}}$ to rozmiar kroku.

Jest to metoda ukryta: wartość pojawia $nieliniowe$ po obu stronach równania i aby ją faktycznie obliczyć, musimy rozwiązać równanie, które Jedną z możliwych metod rozwiązania tego równania jest metoda Newtona . Możemy użyć metody Eulera, aby uzyskać dość dobre oszacowanie rozwiązania, które może być użyte jako wstępne przypuszczenie metody Newtona. W skrócie, użycie tylko zgadywania z metody Eulersa jest równoznaczne z wykonaniem metody Heuna .

Motywacja

Całkując równanie różniczkowe z , $1}}$ 1 \ $+$

${\ Displaystyle y (t_ {n + 1}) -y (t_ {n}) = \ int _ {t_ {n}} ^ {t_ {n + 1}} f (t, y (t)) \, \mathrm {d} t.}$

Reguła trapezów mówi, że całkę po prawej stronie można przybliżyć jako

${\ Displaystyle \ int _ {t_ {n}} ^ {t_ {n + 1}} f (t, y (t)) \ \ operatorname {d} t \ około {\ tfrac {1} {2}} h{\Duży (}f(t_{n},y(t_{n}))+f(t_{n+1},y(t_{n+1})){\duży)}.}$

Teraz połącz obie formuły i użyj tego i ${n}$$} n+1}\około y(t_{n+1})}$ około , aby uzyskać regułę trapezów do rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych.

Analiza błędów

Z analizy błędów reguły trapezów dla kwadratury wynika, że ​​​​lokalny błąd obcięcia reguły trapezów do rozwiązywania równań różniczkowych można ograniczyć jako: ${\ displaystyle \ tau _ {n}}$

${\ Displaystyle | \ tau _ {n} | \ równoważnik {\ tfrac {1} {12}} h ^ {3} \ max _ {t} | y ''' (t) |.}$

Zatem reguła trapezów jest metodą drugiego rzędu. Wynik ten można wykorzystać do pokazania, że ​​błąd globalny wynosi ${\ Displaystyle O (h ^ {2})}$$,$ ponieważ rozmiar kroku dąży do zera (patrz O notacja dla znaczenia tego).

Stabilność

Obszar różowy to region stabilności dla metody trapezoidalnej.

Obszarem absolutnej stabilności reguły trapezów jest

${\ Displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C} \ mid \ operatorname {Re} (z) <0 \}.}$

Obejmuje to lewą połowę płaszczyzny, więc reguła trapezów jest A-stabilna. Druga bariera Dahlquista stwierdza, że ​​reguła trapezów jest najdokładniejsza spośród A-stabilnych liniowych metod wieloetapowych. Dokładniej, liniowa metoda wieloetapowa, która jest A-stabilna, ma co najwyżej drugi rząd, a stała błędu A-stabilnej liniowej metody wieloetapowej drugiego rzędu nie może być lepsza niż stała błędu reguły trapezów.

W rzeczywistości obszarem absolutnej stabilności dla reguły trapezów jest właśnie lewa połowa płaszczyzny. Oznacza to, że jeśli reguła trapezów zostanie zastosowana do liniowego równania testowego y' = λ y , rozwiązanie numeryczne rozpadnie się do zera wtedy i tylko wtedy, gdy rozwiązanie dokładne.

Notatki

•   Iserles, Arieh (1996), pierwszy kurs numerycznej analizy równań różniczkowych , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-55655-2 .
•   Suli, Endre; Mayers, David (2003), Wprowadzenie do analizy numerycznej , Cambridge University Press , ISBN 0521007941 .

Zobacz też

• Metoda Cranka-Nicolsona