Algorytm Beemana

Algorytm Beemana to metoda numerycznego całkowania równań różniczkowych zwyczajnych rzędu 2, a dokładniej równań ruchu Newtona. ${\ Displaystyle {\ ddot {x}} = A (x)$ } Został zaprojektowany, aby umożliwić dużą liczbę cząstek w symulacjach dynamiki molekularnej. Istnieje bezpośredni lub jawny i niejawny wariant metody. Wariant bezpośredni został opublikowany przez Schofielda w 1973 roku jako osobista wiadomość od Beemana. Jest to powszechnie znane jako metoda Beemana . Jest to wariant całkowania Verleta . Tworzy identyczne pozycje, ale używa innego wzoru na prędkości. Beeman w 1976 roku opublikował klasę niejawnych (predyktor-korektor) wieloetapowych metod, w których metoda Beemana jest bezpośrednim wariantem metody trzeciego rzędu w tej klasie.

Równanie

Formuła używana do obliczania pozycji w czasie w pełnym schemacie korektor-predyktor to: ${\ Displaystyle t + \ Delta t}$

• ${\ Displaystyle x (t + \ Delta t)}$ na podstawie danych w czasach ${\ Displaystyle t {\ tekst {i}} t- \ Delta t}$

${\ Displaystyle x (t + \ Delta t)=x(t)+v(t)\Delta t+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}4a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\ Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})}$ .

• Popraw położenie i prędkości w czasie ${\ Displaystyle t {\ tekst {i}} t + \ Delta t$ podstawie danych w czasie $+$ przyspieszenie $)$ równań

• różnicy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x (t + \ Delta t) & = x (t) + v (t) \ Delta t + {\ Frac {1} {6}}} {\ Bigl (} a (t + \ Delta t)+2a(t){\Duży )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4});\\v(t+\Delta t)\Delta t&=x(t+\Delta t )-x(t)+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}2a(t+\Delta t)+a(t){\Bigr )}\Delta t^{2}+O(\ Delta t^{4});\end{aligned}}}$

W testach stwierdzono, że ten krok korektora należy powtórzyć co najwyżej dwa razy. Wartości po prawej stronie to stare wartości z ostatnich iteracji, co skutkuje nowymi wartościami po lewej stronie.

Używając tylko formuły predyktora i korektora prędkości, otrzymuje się metodę bezpośrednią lub jawną, która jest wariantem metody całkowania Verleta:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x (t + \ Delta t) & = x (t) + v (t) \ Delta t + {\ Frac {1} {6}} {\ Bigl (} 4a (t) - a(t-\Delta t){\Delta )}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})\\v(t+\Delta t)&=v(t)+{\frac {1}{6}}{\Bigl (}2a(t+\Delta t)+5a(t)-a(t-\Delta t){\Bigr )}\Delta t+O(\Delta t^{3 });\end{wyrównane}}}$

Jest to wariant, który jest zwykle rozumiany jako metoda Beemana .

Beeman zaproponował również alternatywne zastąpienie aktualizacji prędkości w ostatnim równaniu metodą drugiego rzędu Adamsa-Moultona :

${\ styl wyświetlania v(t+\Delta t)=v(t)+{\frac {1}{12}}{\Bigl (}5a(t+\Delta t)+8a(t)-a(t-\Delta t) {\Duży}}\Delta t+O(\Delta t^{3})}$

Gdzie

• ${\ displaystyle t}$ to czas teraźniejszy (tj. zmienna niezależna)
• ${\ displaystyle \ Delta t}$ to rozmiar kroku czasowego
• ${\ Displaystyle x (t)}$ to pozycja w czasie t
• ${\ Displaystyle v (t)}$ to prędkość w czasie t
• ${\ Displaystyle a (t)}$ to przyspieszenie w czasie t, obliczone jako funkcja ${\ Displaystyle x (t)}$
• ostatni wyraz to termin błędu, przy użyciu notacji dużego O

Modyfikacje predyktorów i korektorów

W systemach, w których siły są funkcją prędkości oprócz położenia, powyższe równania należy zmodyfikować do postaci predyktor-korektor, w której przewiduje się prędkości w czasie, a siły są przewidywane ${\ Displaystyle t + \ Delta t}$ obliczone, przed utworzeniem skorygowanej postaci prędkości.

Przykładem jest:

${\ Displaystyle x (t + \ delta t) = x (t) + v (t) \ delta t + {\ frac {2} {3}} a (t) \ delta t ^ {2} - {\ frac {1 }{6}}a(t-\Delta t)\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4}).}$

Prędkości w czasie $($ pozycji

${\ Displaystyle v (t + \ Delta t) ~ {\ tekst {(przewidywany)}} = v (t) + {\ Frac {3} {2}} a (t) \ Delta t - {\ frac {1} {2}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).}$

Przyspieszenia ${\ Displaystyle a (t + \ Delta t)}$ czasie są następnie obliczane na podstawie pozycji i przewidywanych prędkości, a za ${\ Displaystyle t = t + \ Delta t}$ = prędkości są korygowane.

${\ Displaystyle v (t + \ Delta t) ~ {\ tekst {(poprawione)}} = v (t) + {\ Frac {5} {12}} a (t + \ Delta t) \ Delta t + {\ Frac { 2}{3}}a(t)\Delta t-{\frac {1}{12}}a(t-\Delta t)\Delta t+O(\Delta t^{3}).}$

Termin błędu

Jak pokazano powyżej, lokalny składnik błędu to ${\ Displaystyle O (\ Delta t ^ {4})}$ dla pozycji i ${\ Displaystyle O (\ Delta t ^ {3} )}$ prędkość, co skutkuje globalnym błędem ${\ Displaystyle O (\ Delta t ^ {3})}$ . $Dla$ , . W zamian za większą dokładność algorytm Beemana jest umiarkowanie droższy obliczeniowo.

Wymagania dotyczące pamięci

Symulacja musi śledzić położenie, prędkość, przyspieszenie i poprzednie wektory przyspieszenia na cząstkę (chociaż możliwe są pewne sprytne obejścia do przechowywania poprzedniego wektora przyspieszenia), utrzymując wymagania pamięci na równi z prędkością Verleta i nieco droższe niż oryginalna metoda Verleta .

•   Sadus, Richard J. (2002), Molekularna teoria płynów: teoria, algorytmy i zorientowanie na obiekt , Elsevier, s. 231, ISBN 0-444-51082-6