Lista metod Runge-Kutty

Metody Runge-Kutty to metody numerycznego rozwiązania równania różniczkowego zwyczajnego

${\ Displaystyle {\ Frac {dy} {dt}} = f (t, y).}$

Formę przybierają jawne metody Runge – Kutta

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} y_ {n + 1} & = y_ {n} + h \ suma _ {i = 1} ^ {s} b_ {i} k_ {i} \\ k_ {1} & =f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+h(a_{21}k_{1} )),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+h(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})) ,\\&\;\;\vdots \\k_{i}&=f\left(t_{n}+c_{i}h,y_{n}+h\suma _{j=1}^{i -1}a_{ij}k_{j}\right).\end{wyrównane}}}$

Etapy dla niejawnych metod etapów s przybierają bardziej ogólną formę, a rozwiązanie można znaleźć we wszystkich s

${\ Displaystyle k_ {i} = f \ lewo (t_ {n} + c_ {i} h, y_ {n} + h \ suma _ {j = 1} ^ {s} a_ {ij} k_ {j} \ Prawidłowy).}$

Każda metoda wymieniona na tej stronie jest zdefiniowana przez jej tablicę Butchera , która umieszcza współczynniki metody w tabeli w następujący sposób:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|cccc} c_ {1}& a_ {11} & a_ {12} & \ kropki & a_ {1s} \\ c_ {2} i a_ {21} & a_ {22} & \ kropki &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_ {2}&\kropki &b_{s}\\\end{tablica}}}$

W przypadku metod adaptacyjnych i niejawnych tablica Butchera jest rozszerzana w celu uzyskania wartości , a następnie szacowany błąd wynosi ${\ displaystyle b_ {i} ^ {*}}$

${\ Displaystyle e_ {n + 1} = h \ suma _ {i = 1} ^ {s} (b_ {i} - b_{i}^{*})k_{i}}$ .

Jawne metody

Metody jawne to $te$ których trójkątna .

Naprzód Eulera

Metoda Eulera jest metodą pierwszego rzędu. Brak stabilności i dokładności ogranicza jej popularność głównie do wykorzystania jako prostego przykładu wprowadzającego numerycznej metody rozwiązania.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c} 0 i 0 \\\ hline & 1 \\\ koniec {tablica}}}$

Jawna metoda punktu środkowego

(Jawna) metoda punktu środkowego jest metodą drugiego rzędu z dwoma etapami (zobacz także metodę niejawnego punktu środkowego poniżej):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 0 i 0 i 0 \\ 1/2 i 1/2 i 0 \\\ hline & 0 i 1 \\\ koniec {tablica}}}$

Metoda Heuna

Metoda Heuna jest metodą drugiego rzędu z dwoma etapami. Jest również znany jako wyraźna reguła trapezu, ulepszona metoda Eulera lub zmodyfikowana metoda Eulera. (Uwaga: „eu” wymawia się tak samo jak w „Euler”, więc „Heun” rymuje się z „monetą”):

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 0 i 0 i 0 \\ 1 i 1 i 0 \\\ hline & 1/2 i 1/2 \\\ koniec {tablica}}}$

Metoda Ralstona

Metoda Ralstona jest metodą drugiego rzędu z dwoma etapami i ograniczeniem minimalnego błędu lokalnego:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 0 i 0 i 0 \\ 2/3 i 2/3 i 0 \\\ hline & 1/4 i 3/4 \\\ koniec {tablica} }}$

Ogólna metoda drugiego rzędu

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|ccc} 0 i 0 i 0 \\\ alfa i \ alfa i 0 \\\ hline & 1- {\ Frac {1} {2 \ alfa} }&{\frac {1}{2\alpha }}\\\end{tablica}}}$

Metoda trzeciego rzędu Kutty

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | ccc} 0 i 0 i 0 i 0 \\ 1/2 i 1/2 i 0 i 0 \\ 1 i -1 i 2 i 0 \\\ hline &1/6&2/3&1/6\\\koniec{tablica}}}$

Ogólna metoda trzeciego rzędu

Zobacz Sanderse i Veldman (2019).

dla α ≠ 0, 2 ⁄ 3 , 1:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|ccc} 0&0&0&0 \\\ alfa &\ alfa & 0 i 0 \\1 i 1 + {\ Frac {1-\ alfa} {\ alfa (3 \ alfa -2)}} i - { \frac {1-\alpha }{\alpha (3\alpha -2)}}&0\\\hline &{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6\alpha }}& {\frac {1}{6\alpha (1-\alpha)}}&{\frac {2-3\alpha}}{6(1-\alpha)}}\\\end{tablica}}}$

Metoda trzeciego rzędu Heuna

${\begin{array}{c|ccc}0&0&0&0\\1/3&1/3&0&0\\2/3&0&2/3&0\\\hline &1/4&0&3/4\\\end{array}}$

Metoda trzeciego rzędu Van der Houwena/Wraya

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | ccc} 0 i 0 i 0 i 0 \\ 8/15 i 8/15 i 0 i 0 \\ 2/3 i 1/4 i 5 /12&0\\\hlinia &1/4&0&3/4\\\koniec{tablica}}}$

Metoda trzeciego rzędu Ralstona

Metoda trzeciego rzędu Ralstona jest stosowana we wbudowanej metodzie Bogackiego-Shampine'a .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c| ccc} 0 i 0 i 0 i 0 \\ 1/2 i 1/2 i 0 i 0 \\ 3/4 i 0 i 3/4 i 0 \\\hline &2/9&1/3&4/9\\\end{tablica}}}$

Runge-Kutta zachowujący silną stabilność trzeciego rzędu (SSPRK3)

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c| ccc} 0 i 0 i 0 i 0 \\ 1 i 1 i 0 i 0 \\ 1/2 i 1/4 i 1/4 i 0 \\\ hline &1/6&1/6&2/3\\\end{tablica}}}$

Klasyczna metoda czwartego rzędu

„Oryginalna” metoda Runge-Kutty.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cccc} 0 i 0 i 0 i 0 i 0 \\ 1/2 i 1/2 i 0 i 0 i 0 \\ 1/2&0&1/2&0&0\\1&0&0&1&0\\\hline &1/6&1/3&1/3&1/6\\\end{tablica}}}$

Metoda czwartego rzędu z regułą 3/8

Ta metoda nie cieszy się tak dużym rozgłosem jak metoda „klasyczna”, ale jest równie klasyczna, ponieważ została zaproponowana w tym samym artykule (Kutta, 1901).

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cccc} 0 i 0 i 0 i 0 \\ 1/ 3&1/3&0&0&0\\2/3&-1/3&1&0&0\\1&1&-1&1&0\\\hline &1/8&3/8&3/8&1/8\\\end{tablica}}}$

Metoda czwartego rzędu Ralstona

Ta metoda czwartego rzędu ma minimalny błąd obcięcia.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica}{c|cccc}0&0&0&0&0\\.4&.4&0&0&0\\.45573725&. 29697761&.15875964&0&0\\1&.21810040&-3.05096516&3.83286476&0\\\hline &.17476028&-.55148066&1.20553560&.17118478\\\end{array}}}$

Metody osadzone

Wbudowane metody mają na celu oszacowanie lokalnego błędu obcięcia pojedynczego kroku Runge-Kutty, aw rezultacie pozwalają kontrolować błąd za pomocą adaptacyjnej wielkości kroku . Odbywa się to za pomocą dwóch metod w tableau, jednej z porządkiem p i jednej z rzędem p-1.

Krok niższego rzędu jest określony przez

${\ Displaystyle y_ {n + 1} ^ {*} = y_ {n} + h \ suma _ {i = 1} ^ {s}b_{i}^{*}k_{i},}$

gdzie są takie same jak dla metody wyższego rzędu. ${\ displaystyle k_ {i}}$ Wtedy błąd jest

${\ Displaystyle e_ {n + 1} = y_ {n + 1} - y_{n+1}^{*}=h\suma _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},}$

czyli ${\ Displaystyle O (h ^ {p})}$ . Butcher Tableau dla tego rodzaju metody jest rozszerzony, aby podać wartości ${\ Displaystyle b_ {i} ^ {*}}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cccc} c_ {1} i a_ {11} i a_ {12} i \ kropki i a_ {1s} \\ c_ {2} i a_ {21} i a_ {22} i \ kropki &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1} &b_{2}&\kropki &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\kropki &b_{s}^{*}\\\koniec{tablica}}}$

Heun-Euler

Najprostsza adaptacyjna metoda Runge-Kutty polega na połączeniu metody Heuna , która jest rzędu 2, z metodą Eulera, która jest rzędu 1. Jej rozszerzony Butcher Tableau to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 0 i \\ 1 i 1 \\\ hline & 1/2 i 1/2 \\& 1 i 0 \ koniec {tablica}}}$

Oszacowanie błędu służy do sterowania wielkością kroku.

Fehlberg RK1(2)

Metoda Fehlberga ma dwie metody rzędów 1 i 2. Jej rozszerzonym Butcher Tableau jest:

	0
	1/2	1/2
	1	1/256	255/256
		1/512	255/256	1/512
		1/256	255/256	0

Pierwszy rząd współczynników b daje dokładne rozwiązanie drugiego rzędu, a drugi rząd ma pierwszy rząd.

Bogacki-Shampine

Metoda Bogackiego-Shampine'a ma dwie metody rzędów 2 i 3. Jej rozszerzonym Butcher Tableau jest:

	0
	1/2	1/2
	3/4	0	3/4
	1	2/9	1/3	4/9
		2/9	1/3	4/9	0
		24.07	1/4	1/3	1/8

Pierwszy rząd współczynników b daje dokładne rozwiązanie trzeciego rzędu, a drugi rząd ma drugi rząd.

Fehlberga

Runge -Kutty-Fehlberga ma dwie metody rzędów 5 i 4; jest czasami nazywany RKF45 . Jego rozszerzony Butcher Tableau to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {r|ccccc} 0&&&&&&\\1/4&1/4&&&&\\3/8&3/32&9/32&&&\\12/13&1932/2197&-7200/2197&7296/2197&\\1&439/216&- 8&3680/513&-845/4104&\\1/2&-8/27&2&-3544/2565&1859/4104&-11/40\\\hline &16/135&0&6656/12825&28561/56430&-9/50&2/55\\&25/216&0 &1408/2565&2197 /4104&-1/5&0\end{tablica}}}$

Pierwszy rząd współczynników b daje dokładne rozwiązanie piątego rzędu, a drugi rząd ma rząd czwarty. Współczynniki tutaj pozwalają na automatyczne określenie adaptacyjnego rozmiaru kroku .

Cash-Karp

Cash i Karp zmodyfikowali oryginalny pomysł Fehlberga. Rozszerzony obraz metody Casha-Karpa to

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	3/5	3/10	−9/10	6/5
	1	-11/54	5/2	−70/27	35/27
	7/8	1631/55296	175/512	575/13824	44275/110592	253/4096
		37/378	0	250/621	125/594	0	512/1771
		2825/27648	0	18575/48384	13525/55296	277/14336	1/4

Pierwszy rząd współczynników b daje dokładne rozwiązanie piątego rzędu, a drugi rząd ma rząd czwarty.

Dormand-Książę

Rozszerzony obraz metody Dormanda-Prince'a to

	0
	1/5	1/5
	3/10	3/40	9/40
	4/5	44/45	−56/15	32/9
	8/9	19372/6561	−25360/2187	64448/6561	-212/729
	1	9017/3168	−355/33	46732/5247	49/176	-5103/18656
	1	35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84
		35/384	0	500/1113	125/192	−2187/6784	11/84	0
		5179/57600	0	7571/16695	393/640	−92097/339200	187/2100	1/40

Pierwszy rząd współczynników b daje rozwiązanie dokładne piątego rzędu, a drugi rząd — rozwiązanie dokładne czwartego rzędu.

Niejawne metody

Wsteczny Eulera

Wsteczna metoda Eulera jest metodą pierwszego rzędu. Bezwarunkowo stabilny i nieoscylacyjny dla problemów z dyfuzją liniową.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c} 1 i 1 \\\ hline & 1 \\\ koniec {tablica}}}$

Niejawny punkt środkowy

Niejawna metoda punktu środkowego jest drugiego rzędu. Jest to najprostsza metoda z klasy metod kolokacyjnych znanych jako metody Gaussa-Legendre'a . Jest to integrator symplektyczny .

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | c} 1/2 i 1/2 \\\ hline & 1 \ koniec {tablica}}}$

Metoda Cranka-Nicolsona

Cranka -Nicolsona odpowiada domniemanej regule trapezów i jest metodą dokładną i A-stabilną drugiego rzędu.

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 0 i 0 i 0 \\ 1 i 1/2 i 1/2 \\\ hline & 1/2 i 1/2 \\\ koniec {tablica }}}$

Metody Gaussa-Legendre'a

Metody te opierają się na punktach kwadratury Gaussa-Legendre'a . Metoda Gaussa -Legendre'a rzędu czwartego ma obraz Butchera:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}- {\frac {\sqrt {3}}{6}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4 }}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1} {2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\\\koniec{tablica}}}$

Metoda Gaussa-Legendre'a rzędu szóstego ma obraz Butchera:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | ccc} {\ Frac {1} {2}} - {\ Frac {\ sqrt {15}} {10}} i {\ Frac {5} {36}} &{\frac {2}{9}}-{\frac {\sqrt {15}}{15}}&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{30 }}\\{\frac {1}{2}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{24}}&{\frac {2}{9} }&{\frac {5}{36}}-{\frac {\sqrt {15}}{24}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {15}} {10}}&{\frac {5}{36}}+{\frac {\sqrt {15}}{30}}&{\frac {2}{9}}+{\frac {\sqrt {15 }}{15}}&{\frac {5}{36}}\\\hline &{\frac {5}{18}}&{\frac {4}{9}}&{\frac {5} {18}}\\&-{\frac {5}{6}}&{\frac {8}{3}}&-{\frac {5}{6}}\end{tablica}}}$

Ukośnie ukryte metody Runge-Kutty

Formuły Diagonally Implicit Runge-Kutta (DIRK) były szeroko stosowane do numerycznego rozwiązywania problemów ze sztywnymi wartościami początkowymi; zaletą tego podejścia jest to, że tutaj rozwiązanie można znaleźć sekwencyjnie, a nie jednocześnie.

Najprostszą metodą z tej klasy jest niejawna metoda punktu środkowego rzędu 2 .

Dwustopniowa metoda Kraaijevangera i Spijkera Diagonally Implicit Runge – Kutta:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|cc} 1/2 i 1/2 i 0 \\ 3/2 i -1/2 i 2 \ \\hlinia &-1/2&3/2\\\koniec{tablica}}}$

Dwuetapowa, symplektyczna metoda Qin i Zhanga drugiego rzędu, ukośnie niejawna Runge-Kutta:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 1/4 i 1/4 i 0 \\ 3/4 i 1/2 i 1/4 \ \\hlinia &1/2&1/2\\\koniec{tablica}}}$

Dwuetapowa metoda Pareschiego i Russo drugiego rzędu Diagonally Implicit Runge – Kutta:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|cc} x&x&0 \\1-x&1-2x&x\\\hline & {\frac {1}}{2} }&{\frac {1}{2}}\\\end{tablica}}}$

Ta ukośnie niejawna metoda Runge-Kutty jest A-stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ textstyle x\ geq {\ frac {1}{4}}}$ . Co więcej, ta metoda jest L-stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy ${2} -2x + {\ Frac {1} {2}}}$$2$ x , tj. jeśli ${\ textstyle x = 1 \ pm {\ Frac {\ sqrt {2}} {2}}}$ . $z$ Implicit Runge – Kutta Pareschiego i .

Dwuetapowa metoda Diagonally Implicit Runge-Kutty drugiego rzędu:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|cc} x&x&0 \\1&1-x&x\\\hline &1-x&x\\\koniec {tablica}}}$

Ponownie, ta metoda Diagonally Implicit Runge-Kutty jest A-stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ textstyle x \ geq {\ frac {1}{4}}}$ . Podobnie jak poprzednia metoda, ta metoda jest ponownie L-stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy $\ textstyle x ^ {2} -2x + {\ frac {1}{2}}}$ równa jednemu z pierwiastków wielomianu $x$ , tj. jeśli ${\ textstyle x = 1 \ pm {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}}$ .

Dwuetapowa metoda Crouzeixa trzeciego rzędu po przekątnej Runge – Kutta:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} {\ Frac {1} {2} }+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{6}}&0\\{\frac {1 }{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{6}}&-{\frac {\sqrt {3}}{3}}&{\frac {1}{2}}+{\ frac {\sqrt {3}}{6}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\end{tablica}}}$

Trójstopniowa, stabilna L-stabilna metoda Runge-Kutty po przekątnej:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|ccc} x&x&0&0 \\ {\ Frac {1 + x} {2}} i {\ Frac {1-x} 2}}&x&0\\1&-3x^{2}/2+4x-1/4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\hlinia &-3x^{2}/2+4x-1 /4&3x^{2}/2-5x+5/4&x\\\end{tablica}}}$

z ${\ Displaystyle x = 0,4358665215}$

Trójstopniowa metoda Nørsetta czwartego rzędu po przekątnej Runge – Kutta ma następujący obraz Butchera:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|ccc} x&x&0&0\\1/2&1/2-x&x&0\\1-x&2x&1-4x&x\\\hline & {\frac {1}}{6(1) -2x)^{2}}}&{\frac {3(1-2x)^{2}-1}{3(1-2x)^{2}}}&{\frac {1}{6( 1-2x)^{2}}}\\\end{tablica}}}$

z $/$ z trzech pierwiastków równania sześciennego ${\ Displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2}/2$ . Trzy pierwiastki tego równania sześciennego to w przybliżeniu , i $}$ 1 = $x_$${\ Displaystyle x_ {3} = 0,12889}$ . Pierwiastek $daje$ najlepsze właściwości stabilności dla problemów z wartościami

Czterostopniowa, 3-go rzędu, L-stabilna, ukośna metoda Runge-Kutty

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|cccc} 1/2 i 1/2 i 0 i 0 i 0 \\ 2/3 i 1/6 i 1/2 i 0 i 0 \\ 1/2 i -1/2 i 1/2 i 1/2 i 0 \\ 1 i 3/2 i -3 /2&1/2&1/2\\\hlinia &3/2&-3/2&1/2&1/2\\\koniec{tablica}}}$

metody Lobatto

Istnieją trzy główne rodziny metod Lobatto, zwane IIIA, IIIB i IIIC (w klasycznej literaturze matematycznej symbole I i II są zarezerwowane dla dwóch typów metod Radau). Zostały one nazwane na cześć Rehuela Lobatto jako odniesienie do zasady kwadratury Lobatto , ale zostały wprowadzone przez Byrona L. Ehle w jego pracy magisterskiej. Wszystkie są metodami niejawnymi, mają rząd 2 s − 2 i wszystkie mają c ₁ = 0 i c _s = 1. W przeciwieństwie do jakiejkolwiek jawnej metody, w tych metodach możliwe jest, aby kolejność była większa niż liczba etapów. Lobatto żył, zanim Runge i Kutta spopularyzowali klasyczną metodę czwartego rzędu.

metody Lobatto IIIA

Metody Lobatto IIIA to metody kolokacji . Metoda drugiego rzędu jest znana jako reguła trapezów :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 0 i 0 i 0 \\ 1 i 1/2 i 1/2 \\\ hline & 1/2 i 1/2 \\& 1 i 0 \\ \end{tablica}}}$

Metoda czwartego rzędu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|ccc} 0&0&0&0 \\1/2&5/24&1/3&-1/24\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\ &-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{tablica}}}$

Te metody są A-stabilne, ale nie L-stabilne i B-stabilne.

metody Lobatto IIIB

Metody Lobatto IIIB nie są metodami kolokacji, ale można je postrzegać jako metody kolokacji nieciągłej ( Hairer, Lubich & Wanner 2006 , §II.1.4). Metoda drugiego rzędu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 0 i 1/2 i 0 \\ 1 i 1/2 i 0 \\\ hline & 1/2 i 1/2 \\& 1 i 0 \\ \end{tablica}}}$

Metoda czwartego rzędu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | ccc} 0 i 1/6 i -1/6 i 0 \\ 1/2 i 1/6 i 1/3 i 0 \\ 1 i 1/6 i 5/6 i 0 \\\ hline & 1/6 i 2/3 i 1/6 \\ &-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{tablica}}}$

Metody Lobatto IIIB są A-stabilne, ale nie L-stabilne i B-stabilne.

metody Lobatto IIIC

Metody Lobatto IIIC są również nieciągłymi metodami kolokacji. Metoda drugiego rzędu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|cc} 0 i 1/2 i -1/2 \\ 1 i 1/2 i 1/2 \ \\hlinia &1/2&1/2\\&1&0\\\end{tablica}}}$

Metoda czwartego rzędu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c|ccc} 0&1/6&-1/3&1/6\\1/2&1/6&5/12&-1/12\\1&1/6&2/3&1/6\\\hline &1 /6&2/3&1/6\\&-{\frac {1}{2}}&2&-{\frac {1}{2}}\\\end{tablica}}}$

Są L-stabilne. Są również stabilne algebraicznie, a zatem B-stabilne, co czyni je odpowiednimi dla sztywnych problemów.

metody Lobatto IIIC*

Metody Lobatto IIIC* są również znane w literaturze jako metody Lobatto III (Butcher, 2008), metody Lobatto Butchera (Hairer i in., 1993) oraz metody Lobatto IIIC (Sun, 2000). Metoda drugiego rzędu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 0 i 0 i 0 \\ 1 i 1 i 0 \\\ hline & 1/2 i 1/2 \\\ koniec {tablica}}}$

Trzyetapowa metoda czwartego rzędu Butchera jest podana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c| ccc} 0 i 0 i 0 i 0 \\ 1/2 i 1/4 i 1/4 i 0 \\ 1 i 0 i 1 i 0 \\\ hline &1/6&2/3&1/6\\\end{tablica}}}$

Metody te nie są A-stabilne, B-stabilne ani L-stabilne. Metoda Lobatto IIIC * dla $czasami$ nazywana wyraźną regułą

Uogólnione metody Lobatto

rozważyć bardzo ogólną rodzinę metod z trzema rzeczywistymi parametrami ${\ Displaystyle (\ alfa _ {A}, \ alfa _ {B}, \ alfa _ {C})}$ biorąc pod uwagę współczynniki Lobatto postaci

${\ Displaystyle a_ {i, j} (\ alfa _ {A}, \ alfa _ {B}, \ alfa _ {C}) = \ alfa _ {A} a_ {i, j} ^ {A} + \ alpha _{B}a_{i,j}^{B}+\alpha _{C}a_{i,j}^{C}+\alpha _{C*}a_{i,j}^{C* }}$ ,

Gdzie

${\ Displaystyle \ alfa _ {C *} = 1 - \ alfa _ {A} - \ alfa _ {B} - \ alfa _ {C}}$ .

Na przykład rodzina Lobatto IIID wprowadzona w (Nørsett i Wanner, 1981), zwana także Lobatto IIINW, jest podana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 0 i 1/2 i 1/2 \\ 1 i -1/2 i 1/2 \\ \hlinia &1/2&1/2\\\end{tablica}}}$

I

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | ccc} 0 i 1 /6&0&-1/6\\1/2&1/12&5/12&0\\1&1/2&1/3&1/6\\\hline &1/6&2/3&1/6\\\end{tablica}}}$

Metody te odpowiadają ${\ Displaystyle \ alpha _ {A} = 2}$ , ${\ Displaystyle \ alpha _ {B} = 2}$ , ${\ Displaystyle \ alpha _ { C} = -1}$ i ${\ Displaystyle \ alpha _ {C *} = - 2}$ . Metody są L-stabilne. Są algebraicznie stabilne, a zatem B-stabilne.

metody Radaua

Metody Radau są metodami w pełni niejawnymi (macierz A takich metod może mieć dowolną strukturę). Metody Radau osiągają rząd 2 s - 1 dla s etapów. Metody Radau są A-stabilne, ale drogie w implementacji. Mogą również ucierpieć z powodu redukcji zamówień. Metoda Radau pierwszego rzędu jest podobna do wstecznej metody Eulera.

metody Radau IA

Metoda trzeciego rzędu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 0 i 1/4 i -1/4 \\ 2/3 i 1/4 i 5 /12\\\hlinia &1/4&3/4\\\koniec{tablica}}}$

Metoda piątego rzędu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c| ccc} 0 & {\ Frac {1} {9}} & {\ Frac {-1- {\ sqrt {6}}} {18}} & {\ Frac { -1+{\sqrt {6}}}{18}}\\{\frac {3}{5}}-{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{ 9}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {43{ \sqrt {6}}}{360}}\\{\frac {3}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10}}&{\frac {1}{9}}& {\frac {11}{45}}+{\frac {43{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {11}{45}}-{\frac {7{\sqrt {6 }}}{360}}\\\hline &{\frac {1}{9}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{ \frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}\\\end{tablica}}}$

metody Radau IIA

Ci _{w tej} metodzie są zerami

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {s-1}} {dx ^ {s-1}}} (x ^ { s-1}(x-1)^{s})}$ .

Metoda trzeciego rzędu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | cc} 1/3 i 5/12 i -1/12 \\ 1 i 3/ 4&1/4\\\hline &3/4&1/4\\\end{tablica}}}$

Metoda piątego rzędu jest dana przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {c | ccc} {\ Frac {2} {5}} - {\ Frac {\ sqrt {6}} {10}} i {\ Frac {11} {45}} -{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&{\frac {37}{225}}-{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&-{ \frac {2}{225}}+{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\{\frac {2}{5}}+{\frac {\sqrt {6}}{10} }&{\frac {37}{225}}+{\frac {169{\sqrt {6}}}{1800}}&{\frac {11}{45}}+{\frac {7{\sqrt {6}}}{360}}&-{\frac {2}{225}}-{\frac {\sqrt {6}}{75}}\\1&{\frac {4}{9}}- {\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {1}{9} }\\\hline &{\frac {4}{9}}-{\frac {\sqrt {6}}{36}}&{\frac {4}{9}}+{\frac {\sqrt { 6}}{36}}&{\frac {1}{9}}\\\end{tablica}}}$

Notatki

• Ehle, Byron L. (1969). O przybliżeniach Padé do funkcji wykładniczej i A-stabilnych metodach numerycznego rozwiązywania problemów z wartościami początkowymi (PDF) (praca dyplomowa).
•   Włos, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych I: Problemy niesztywne , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-56670-0 .
•   Włos, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych II: sztywne i różniczkowo-algebraiczne problemy , Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-60452-5 .
•   Włos, Ernst; Lubich, chrześcijanin; Wanner, Gerhard (2006), Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-30663-4 .