Formuła różniczkowania wstecznego

Wzór na różniczkowanie wsteczne ( BDF ) to rodzina niejawnych metod numerycznego całkowania równań różniczkowych zwyczajnych . Są to liniowe metody wieloetapowe , które dla danej funkcji i czasu przybliżają pochodną tej funkcji, wykorzystując informacje z już obliczonych punktów czasowych, zwiększając w ten sposób dokładność przybliżenia. Metody te są szczególnie stosowane do rozwiązywania sztywnych równań różniczkowych . Metody zostały po raz pierwszy wprowadzone przez Charlesa F. Curtissa i Josepha O. Hirschfeldera w 1952 r. W 1967 r . C. William Gear sformalizował dziedzinę w przełomowym artykule opartym na jego wcześniejszej niepublikowanej pracy.

Ogólna formuła

BDF służy do rozwiązania problemu wartości początkowej

${\ Displaystyle y' = f (t, y), \ quad y (t_ {0}) = y_ {0}.}$

Ogólny wzór na BDF można zapisać jako

${\ Displaystyle \ suma _ {k = 0} ^ {s} a_ {k} y_ {n + k }=h\beta f(t_{n+s},y_{n+s}),}$

gdzie ${\ displaystyle h}$ oznacza rozmiar kroku i ${\ displaystyle t_ {n} = t_ {0} + nh}$ . Ponieważ ocenia się pod kątem nieznanego $metody$ BDF są i $prawdopodobnie$ wymagają rozwiązania równań nieliniowych na Współczynniki i są dobierane tak $displaystyle$ aby metoda osiągnęła najwyższy możliwy porządek. $}$$a_ {k$

Wyprowadzenie współczynników

${\ textstyle y' (t_ {n + s}) = f (t_ {n + s$ fa jeden przybliża ${\ Displaystyle y (t_ {n + s}) \ około y_ {n + s}}$ i ${\ Displaystyle y '(t_ {n + s}) \ około p_ {n, s} '(t_ {n + s})}$ , gdzie $n$${\ Displaystyle (t_ {n}, y_ {n}), \ ldots, (t_ {n + s}, y_ {n + s})}$ interpolacji Lagrange'a punktów . Korzystając $przez$$i$ mnożąc dochodzi $_$ _

Konkretne formuły

S - krokowe BDF z s <7 to:

• BDF1:
  $${\ Displaystyle y_ {n + 1} -y_ {n} = hf (t_ {n + 1}, y_ {n + 1 })}$$
  (jest to wsteczna metoda Eulera )
• BDF2:
  $${\ Displaystyle y_ {n + 2} - {\ tfrac {4} {3 }}y_{n+1}+{\tfrac {1}{3}}y_{n}={\tfrac {2}{3}}hf(t_{n+2},y_{n+2}) }$$
• BDF3:
  $${\ Displaystyle y_ {n + 3} - { \tfrac {18}{11}}y_{n+2}+{\tfrac {9}{11}}y_{n+1}-{\tfrac {2}{11}}y_{n}={\ tfrac {6}{11}}hf(t_{n+3},y_{n+3})}$$
• BDF4:
  $${\ Displaystyle y_ {n+4}-{\tfrac {48}{25}}y_{n+3}+{\tfrac {36}{25}}y_{n+2}-{\tfrac {16}{25}} y_{n+1}+{\tfrac {3}{25}}y_{n}={\tfrac {12}{25}}hf(t_{n+4},y_{n+4})}$$
• BDF5:
  $${\ Displaystyle y_ {n + 5} - {\ tfrac {300} {137}} y_ {n + 4} + {\ tfrac {300} {137}} y_ {n + 3} - {\ tfrac {200}{137}}y_{n+2}+{\tfrac {75}{137}}y_{n+1}-{\tfrac {12}{137}}y_{n}={\tfrac { 60}{137}}hf(t_{n+5},y_{n+5})}$$
• BDF6:
  $${\ Displaystyle y_ {n + 6} - {\ tfrac {360} {147}} y_ {n + 5} + {\ tfrac {450} {147}} y_ {n +4}-{\tfrac {400}{147}}y_{n+3}+{\tfrac {225}{147}}y_{n+2}-{\tfrac {72}{147}}y_{ n+1}+{\tfrac {10}{147}}y_{n}={\tfrac {60}{147}}hf(t_{n+6},y_{n+6})}$$

Metody z s > 6 nie są zerowe, więc nie można ich używać.

Stabilność

Stabilność numerycznych metod rozwiązywania sztywnych równań jest wskazywana przez ich obszar stabilności absolutnej. W przypadku metod BDF regiony te pokazano na poniższych wykresach.

Idealnie region zawiera lewą połowę płaszczyzny zespolonej, w którym to przypadku mówi się, że metoda jest A-stabilna. Jednak liniowe metody wieloetapowe o rzędzie większym niż 2 nie mogą być A-stabilne . Obszar stabilności metod BDF wyższego rzędu zawiera dużą część lewej półpłaszczyzny, aw szczególności całą ujemną oś rzeczywistą. Metody BDF są najbardziej wydajnymi liniowymi wieloetapowymi metodami tego rodzaju.

Różowy region pokazuje region stabilności metod BDF

• 

  BDF1

• 

  BDF2

• 

  BDF3

• 

  BDF4

• 

  BDF5

• 

  BDF6

Polecane prace

•   Ascher, UM; Petzold, LR (1998), Metody komputerowe dla równań różniczkowych zwyczajnych i równań różniczkowo-algebraicznych , SIAM, Filadelfia, ISBN 0-89871-412-5 .
•   Iserles, Arieh (1996), Pierwszy kurs numerycznej analizy równań różniczkowych , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55655-2 .
•   Suli, Endre; Mayers, David (2003), Wprowadzenie do analizy numerycznej , Cambridge University Press , ISBN 0-521-00794-1 .

Dalsza lektura

• Metody BDF na wiki SUNDIALS (SUNDIALS to biblioteka implementująca metody BDF i podobne algorytmy).