Sztywne równanie

W matematyce sztywne równanie jest równaniem różniczkowym , dla którego pewne numeryczne metody rozwiązywania równania są numerycznie niestabilne , chyba że rozmiar kroku jest bardzo mały. Sformułowanie precyzyjnej definicji sztywności okazało się trudne, ale główną ideą jest to, że równanie zawiera pewne terminy, które mogą prowadzić do szybkich zmian w rozwiązaniu.

Podczas numerycznego całkowania równania różniczkowego można by oczekiwać, że wymagany rozmiar kroku będzie stosunkowo mały w obszarze, w którym krzywa rozwiązania wykazuje duże zróżnicowanie, i będzie stosunkowo duży, gdy krzywa rozwiązania wyprostuje się, zbliżając się do linii o nachyleniu bliskim zeru. W przypadku niektórych problemów tak nie jest. Aby metoda numeryczna dawała niezawodne rozwiązanie układu różniczkowego, czasami wymagana jest niedopuszczalnie mała wielkość kroku w obszarze, w którym krzywa rozwiązania jest bardzo gładka. Zjawisko to znane jest jako sztywność . W niektórych przypadkach mogą istnieć dwa różne problemy z tym samym rozwiązaniem, ale jeden nie jest sztywny, a drugi tak. Zjawisko to nie może zatem być właściwością dokładnego rozwiązania, ponieważ jest ono takie samo dla obu problemów i musi być właściwością samego systemu różniczkowego. Takie układy są więc znane jako układy sztywne .

Motywujący przykład

Jawne metody numeryczne wykazujące niestabilność podczas całkowania sztywnego równania różniczkowego zwyczajnego

Rozważ problem wartości początkowej

${\ Displaystyle \, y' (t) = -15y (t), \ quad t \ geq 0, \ quad y ( 0)=1.}$

 

 

 

 

()

Dokładne rozwiązanie (pokazane na niebiesko) to

${\ Displaystyle y (t) = e ^ {-15t}, \ quad y (t) \ do 0 {\ tekst {jak}} t \ do \ infty.}$

 

 

 

 

()

Poszukujemy rozwiązania numerycznego , które wykazuje takie samo zachowanie.

Rysunek (po prawej) ilustruje zagadnienia numeryczne dla różnych integratorów numerycznych zastosowanych w równaniu.

1. Metoda Eulera z $dziko$ wielkości oscyluje z zakresu wykresu (pokazanego na czerwono)
2. Metoda Eulera z połową rozmiaru kroku, daje rozwiązanie w granicach wykresu, ale oscyluje wokół zera ( $)$
3. Metodę trapezoidalną (czyli dwuetapową metodę Adamsa-Moultona ) podaje wzór

   ${\ Displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\tfrac {1}{2}}h{\bigl (}f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}){\bigr)} ,}$

    

    

    

    

   ()

   gdzie ${\ Displaystyle y '= f (t, y)}$ . Zastosowanie tej metody zamiast metody Eulera daje znacznie lepszy wynik (kolor niebieski). Wyniki liczbowe maleją monotonicznie do zera, tak jak robi to rozwiązanie dokładne.

Jednym z najbardziej znanych przykładów sztywnych równań różniczkowych zwyczajnych (ODE) jest układ opisujący reakcję chemiczną Robertsona:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ kropka {x}} & = -0,04x + 10 ^ {4} y \ cdot z \\ {\ kropka {y}} i = 0,04x-10 ^ {4} y\cdot z-3\cdot 10^{7}y^{2}\\{\kropka {z}}&=3\cdot 10^{7}y^{2}\end{wyrównane}}}$

 

 

 

 

()

$numerycznym$ w krótkim przedziale, na przykład, problemu z Jeśli jednak przedział jest bardzo duży (powiedzmy 10 ¹¹ ), wówczas wiele standardowych kodów nie potrafi go poprawnie zintegrować.

Dodatkowymi przykładami są zestawy ODE wynikające z integracji czasowej dużych mechanizmów reakcji chemicznych. Tutaj sztywność wynika ze współistnienia bardzo wolnych i bardzo szybkich reakcji. można użyć pakietów oprogramowania KPP i Autochem .

Współczynnik sztywności

Rozważ liniowy stały współczynnik niejednorodny system

${\ Displaystyle \ mathbf {y} '= \ mathbf {A} \ mathbf {y} + \ mathbf {f} (x),}$

 

 

 

 

()

gdzie ${\ Displaystyle \ mathbf {y} \ mathbf {f} \ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {A}}$ jest stałą, diagonalizowalną, ${\ Displaystyle n \ razy n}$ macierz z wartościami własnymi ${\ Displaystyle \ lambda _ {t} \ in \ mathbb {C}, t = 1,2 ,\ldkropki ,n}$ (przy założeniu, że różne) i odpowiadające im wektory własne ${\ Displaystyle \ mathbf {c} _ {t} \ in \ mathbb {C} ^ {n}, t = 1, 2,\lddotki ,n}$ . Ogólne rozwiązanie ( 5 ) ma postać

${\ Displaystyle \ mathbf {y} (x) = \ suma _ {t = 1} ^ {n} \ kappa _{t}e^{\lambda _{t}x}\mathbf {c} _{t}+\mathbf {g} (x),}$

 

 

 

 

()

gdzie $kappa _ {t}} są$$jest$ stałymi i szczególną Teraz załóżmy, że

${\ Displaystyle \ operatorname {Re} (\ lambda _ {t}) <0, \ qquad t = 1,2, \ ldots, n, }$

 

 

 

 

()

co oznacza, że ​​każdy z terminów mi $\ Displaystyle e ^ {\ lambda _ {t} x} \ mathbf {c} _ {t} \ do 0}$ jako ${\ displaystyle x \ do \ infty }$$(x)}$ tak że rozwiązanie zbliża się asymptotycznie $mathbf {g$ asymptotycznie jako ${\ Displaystyle x\do \infty}$ ; termin ${\ Displaystyle e ^ {\ lambda _ {t} x} \ mathbf {c} _ {t}}$ rozpadnie się monotonicznie, jeśli ${\ Displaystyle \ lambda _ {t}}$ jest rzeczywiste i sinusoidalne, jeśli ${\ displaystyle \ lambda _ {t}}$ jest złożony.

Interpretując $∑$ (jak to często bywa w przypadku problemów fizycznych), ${t}} nazywa się rozwiązaniem$$\ textstyle \ suma _ {t = 1} ^ {n} \ kappa _ {t} e ^ {\ lambda _ {t} x} \ mathbf$ { c} _ przejściowym i sol $\ Displaystyle \ mathbf {g} (x)}$ rozwiązanie państwowe . Jeśli ${\ Displaystyle \ lewo | \ operatorname {Re} (\ lambda _ {t}) \ prawo |}$ jest duży, to odpowiedni termin $} _ {t}}$${\ Displaystyle \ kappa _ {t} e ^ { \lambda _ {t} x} \ mathbf {$$wzrostem$ szybko zanika wraz ze i dlatego jest nazywany szybkim stanem przejściowym ; jeśli ${\ Displaystyle \ lewo | \ nazwa operatora {Re} (\ lambda _ {t}) \ prawo |}$${t} x} \ mathbf {c} _ {t}} zanika powoli i nazywa$ mi się powolne przejściowe . Niech ${\ Displaystyle {\ overline {\ lambda}}, {\ podkreślenie {\ lambda}} \ w \ {\ lambda _ {t },t=1,2,\ldkropki,n\}}$ być określony przez

${\ Displaystyle {\ bigl |} \ operatorname {Re} ({\ overline {\ lambda}}) {\ bigr |} \ geq {\ bigl |} \ operatorname {Re} (\lambda _{t}){\bigr |}\geq {\bigl |}\operatorname {Re} ({\podkreślenie {\lambda}}){\bigr |},\qquad t=1,2,\ kropki ,n}$

 

 

 

 

()

κ ${\ Displaystyle \ kappa _ {t} e ^ {{\ overline {\ lambda}} x} \ mathbf {c} _ {t}} jest najszybszym stanem$ przejściowym ${\ Displaystyle \ kappa _ {t} e ^ {{\ podkreślenie {\ lambda}} x} \ mathbf {c} _ {t}} najwolniejszy$ . Teraz definiujemy współczynnik sztywności jako

${\ Displaystyle {\ Frac {{\ bigl |} \ operatorname {Re} ({\ overline {\ lambda}}) {\ bigr |}} {{\ bigl |} \ operatorname {Re} ({\ podkreślenie {\ lambda }}){\bigr |}}}.}$

 

 

 

 

()

Charakterystyka sztywności

W tej sekcji rozważymy różne aspekty zjawiska sztywności. „Zjawisko” jest prawdopodobnie bardziej odpowiednim słowem niż „właściwość”, ponieważ to drugie sugeruje raczej, że sztywność można zdefiniować za pomocą precyzyjnych terminów matematycznych; okazuje się, że nie jest możliwe zrobienie tego w zadowalający sposób, nawet dla ograniczonej klasy liniowych układów o stałych współczynnikach. Zobaczymy również kilka stwierdzeń jakościowych, które można (i przeważnie robiono) w celu ujęcia pojęcia sztywności i określimy, co jest prawdopodobnie najbardziej satysfakcjonujące z nich jako „definicja” sztywności.

JD Lambert definiuje sztywność w następujący sposób:

Jeżeli metoda numeryczna ze skończonym obszarem absolutnej stabilności , zastosowana do układu o dowolnych warunkach początkowych , jest zmuszona do zastosowania w pewnym przedziale całkowania zbyt małej długości kroku w stosunku do gładkości rozwiązania dokładnego w tym przedziale , to mówimy, że układ jest sztywny w tym przedziale.

Istnieją inne cechy, które są wykazywane przez wiele przykładów sztywnych problemów, ale dla każdego istnieją kontrprzykłady, więc te cechy nie stanowią dobrej definicji sztywności. Niemniej jednak definicje oparte na tych cechach są powszechnie stosowane przez niektórych autorów i stanowią dobrą wskazówkę co do obecności sztywności. Lambert nazywa je raczej „stwierdzeniami” niż definicjami z wyżej wymienionych powodów. Oto kilka z nich:

1. Liniowy układ o stałych współczynnikach jest sztywny, jeśli wszystkie jego wartości własne mają ujemną część rzeczywistą, a współczynnik sztywności jest duży.
2. Sztywność występuje, gdy długość kroku ograniczają wymagania dotyczące stabilności, a nie dokładności.
3. Sztywność występuje, gdy niektóre składniki roztworu rozkładają się znacznie szybciej niż inne.

Etymologia

Pochodzenie terminu „sztywność” nie zostało jednoznacznie ustalone. Według Josepha Oaklanda Hirschfeldera termin „sztywny” jest używany, ponieważ takie układy odpowiadają ścisłemu sprzężeniu między sterownikiem a napędzanymi serwomechanizmami . Według Richarda. L. Burdena i J. Douglasa Fairesa,

Poważne trudności mogą wystąpić, gdy standardowe techniki numeryczne są stosowane do aproksymacji rozwiązania równania różniczkowego , gdy dokładne rozwiązanie zawiera wyrażenia w postaci mi $\ Displaystyle e ^ {\ lambda t}}$ λ $\ Displaystyle \ lambda}$ jest liczbą zespoloną z ujemną częścią rzeczywistą.

. . .

Problemy związane z szybko rozpadającymi się roztworami przejściowymi występują naturalnie w wielu różnych zastosowaniach, w tym w badaniu systemów sprężyn i tłumienia, analizie systemów sterowania i problemach kinetyki chemicznej . To wszystko są przykłady klasy problemów zwanych sztywnymi (sztywność matematyczna) układami równań różniczkowych, ze względu na ich zastosowanie w analizie ruchu układów sprężystych i masowych o dużych stałych sprężystości ( sztywność fizyczna ) .

Na przykład problem wartości początkowej

${\ Displaystyle m {\ ddot {x}} + c {\ kropka {x}} + kx = 0, \ qquad x(0)=x_{0},\qquad {\kropka {x}}(0)=0,}$

 

 

 

 

()

z ${\ Displaystyle m = 1}$ , ${\ Displaystyle c = 1001}$ , ${\ Displaystyle k = 1000}$ , można zapisać w postaci ( 5 ) z ${\ Displaystyle n=2}$ i

${\ Displaystyle \ mathbf {A} = {\ rozpocząć {pmatrix} 0 i 1 \\ -1000 i -1001 \ koniec {pmatrix}},\qquad \mathbf {f} (t)={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}},\qquad \mathbf {x} (0)={\begin{pmatrix} x_{0}\\0\koniec{pmacierzy}},}$

 

 

 

 

()

i ma wartości własne ${\ Displaystyle {\ overline {\ lambda}} = -1000, {\ podkreślenie {\ lambda}} = -1}$ . Obie wartości własne mają ujemną część rzeczywistą, a współczynnik sztywności jest

${\ Displaystyle {\ Frac {|-1000|}{|-1|}} = 1000,}$

 

 

 

 

()

który jest dość duży. Układ ( 10 ) wtedy $jest$$3.$ Tutaj stała sprężystości jest duża, a stała tłumienia jeszcze większa. (chociaż „duży” nie jest terminem jasno zdefiniowanym, ale im większe są powyższe wielkości, tym wyraźniejszy będzie efekt sztywności.) Dokładnym rozwiązaniem ( 10 ) jest

${\ Displaystyle x (t) = x_ {0} \ lewo (- {\ Frac {1} {999}} e ^ {-1000 t} + {\ Frac {1000} {999}} e ^ {- t} \ po prawej)\około x_{0}e^{-t}.}$

 

 

 

 

()

Równanie 13 $zachowuje$ dość podobnie do prostego wykładniczego ${\ Displaystyle e ^ {-1000t}}$ nawet mi przy małym współczynniku wystarczy, aby obliczenia numeryczne były bardzo wrażliwe na wielkość kroku. Stabilna integracja ( 10 ) wymaga bardzo małego kroku aż do gładkiej części krzywej rozwiązania, co powoduje błąd znacznie mniejszy niż wymagany dla dokładności. Zatem system spełnia również stwierdzenie 2 i definicję Lamberta.

A-stabilność

Zachowanie metod numerycznych na sztywnych problemach można przeanalizować, stosując te metody do równania testowego $)$ zastrzeżeniem warunku początkowego $y$ with $k\in \mathbb {C}$. The solution of this equation is $y(t)=e^{kt}$ . To rozwiązanie zbliża się do zera $)$ Re $0.} Jeśli$ numeryczna również wykazuje takie zachowanie ( dla ustalonej wielkości kroku), wówczas mówi się, że metoda jest A-stabilna. Metoda numeryczna, która jest L-stabilna (patrz poniżej), ma silniejszą właściwość polegającą na tym, że rozwiązanie zbliża się do zera w jednym kroku, gdy rozmiar kroku dąży do nieskończoności. Metody A-stabilne nie wykazują problemów z niestabilnością, jak opisano w motywującym przykładzie.

Metody Runge-Kutty

Metody Runge-Kutty $}=\phi (hk)\cdot y_{n}}$ równania testowego przyjmują postać $k$$y_ {$ , oraz przez indukcję ${\ Displaystyle y_ {n} = {\ bigl (} \ phi (hk) {\ bigr)} ^ {n} \ cdot y_ {0}}$ . Funkcja $stabilności$ jest funkcją . Zatem warunek, że ${\ displaystyle y_ {n} \ do 0}$ as ${\ displaystyle n \ do \ infty}$ jest równoważny ${\ Displaystyle | \ phi (hk) | <1}$ . To motywuje definicję region absolutnej stabilności (czasami nazywany po prostu regionem stabilności ), który jest zbiorem ${\ Displaystyle {\ bigl \ {} z \ in \ mathbb {C} \, {\ duży |} \, | \ phi (z) | <1 {\ bigr \}}}$ . Metoda jest A-stabilna, jeśli obszar absolutnej stabilności zawiera zbiór ${\ Displaystyle {\ bigl \ {} z \ in \ mathbb {C} \, {\ duży |} \, \ operatorname {Re} (z) <0 {\ bigr \}}}, czyli lewa$ połowa samolot.

Przykład: metody Eulera

Różowy dysk pokazuje region stabilności dla metody Eulera.

Rozważ powyższe metody Eulera. Wyraźna metoda $_$ równania _

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + h \ cdot f (t_ {n}, y_ {n}) = y_ {n} + h \ cdot (ky_ {n}) = y_ {n} +h\cdot k\cdot y_{n}=(1+h\cdot k)y_{n}.}$

Stąd ${\ Displaystyle y_ {n} = (1 + hk) ^ {n} \ cdot y_ {0}}$ z ${\ Displaystyle \phi (z)=1+z}$ . Obszarem absolutnej stabilności dla tej metody jest zatem ${\ Displaystyle {\ bigl \ {} z \ in \ mathbb {C} \, {\ duży |} \, | 1 + z | <1 {\ bigr \}}}, który jest dyskiem przedstawionym po prawej stronie$ . Metoda Eulera nie jest A-stabilna.

Motywujący przykład miał ${\ displaystyle k = -15}$ . h ${4}}}$$razy {\ tfrac {1}{4}}=-3.75}$ z × \ , który znajduje się poza regionem stabilności. Rzeczywiście, wyniki liczbowe nie są zbieżne do zera. Jednak przy wielkości kroku ${\ displaystyle h = {\ tfrac {1} {8}}}$ , mamy ${\ displaystyle z = -1,875}$ , który znajduje się tuż w obszarze stabilności, a wyniki liczbowe zbiegają się do zera, choć raczej powoli.

Przykład: metoda trapezowa

Obszar różowy to region stabilności dla metody trapezoidalnej.

Rozważ metodę trapezoidalną

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} +{\tfrac {1}{2}}h\cdot {\bigl (}f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}){\ większy )},}$

po zastosowaniu do równania testowego jest ${\ Displaystyle y'= k \ cdot y}$

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + {\ tfrac {1} {2}} h \ cdot \ lewo (ky_ {n} + ky_ {n + 1} \ prawo).}$

Rozwiązywanie dla plonów ${\ displaystyle y_ {n + 1}}$

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = {\ Frac {1 + {\ Frac {1} {2}} hk} {1- {\ Frac {1} {2}} hk}} \ cdot y_ {n} .}$

Zatem funkcja stabilności jest

${\ Displaystyle \ phi (z) = {\ Frac {1 + {\ Frac {1} {2}} z} {1- {\ Frac {1 }{2}}z}}}$

a regionem absolutnej stabilności jest

${\ Displaystyle \ lewo \ {z \ in \ mathbb {C} \ \ lewo |\ \ lewo | {\ Frac {1 + {\ Frac {1} {2}} z} {1- {\ frac {1} {2}}z}}\prawo|<1\prawo.\prawo\}.}$

Ten region zawiera lewą półpłaszczyznę, więc metoda trapezoidalna jest A-stabilna. $.$ , a zatem rozwiązanie numeryczne zbiega się do zera wtedy i tylko wtedy, gdy Niemniej jednak metoda trapezoidalna nie zachowuje się idealnie: tłumi wszystkie rozkładające się składowe, ale szybko rozkładające się składowe są tłumione tylko bardzo słabo, ponieważ ${\ Displaystyle \ phi (z) \ do 1}$ jak ${\ Displaystyle z \ do - \ infty}$ . Doprowadziło to do koncepcji L-stabilności : metoda jest L-stabilna, jeśli jest A-stabilna i ${\ Displaystyle |\ phi (z) |\ do 0}$ jak ${\ Displaystyle z \ do \ infty}$ . Metoda trapezoidalna jest A-stabilna, ale nie L-stabilna. Ukryta metoda Eulera jest przykładem metody L-stabilnej.

Teoria ogólna

Funkcja stabilności metody $\ mathbf {b}}$ -Kutty ze współczynnikami i $Displaystyle$

${\ Displaystyle \ phi (z) = {\ Frac {\ det \ lewo (\ mathbf {I} -z \mathbf {A} +z\mathbf {e} \mathbf {b} ^{\mathsf {T}}\right)}{\det(\mathbf {I} -z\mathbf {A} )}},}$

gdzie $.$ wektor ze wszystkimi jedynkami Jest to funkcja wymierna (jeden wielomian podzielony przez inny).

Jawne metody Runge-Kutty mają $macierz$ niższą trójkątną współczynników , a zatem ich funkcja stabilności jest wielomianem. Wynika z tego, że jawne metody Runge-Kutty nie mogą być A-stabilne.

Funkcja stabilności niejawnych metod Runge-Kutty jest często analizowana przy użyciu gwiazd porządku. Gwiazda porządku dla metody z funkcją stabilności $do$${\ Displaystyle {\ bigl \ {} z \ in \ mathbb {C} \, {\ duży |} \, | \ phi (z) |> | e ^ {z} | {\ bigr \}}}$ jako zbiór . Metoda jest A-stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy jej funkcja stabilności nie ma biegunów na lewej płaszczyźnie, a jej gwiazda porządku nie zawiera liczb czysto urojonych.

Metody wieloetapowe

Liniowe metody wieloetapowe mają postać

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = \ suma _ {i = 0} ^ {s} a_ {i} y_ {ni} + h \ suma _ {j = -1} ^ {s} b_ {j} f \left(t_{nj},y_{nj}\right).}$

Zastosowane do równania testowego stają się

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = \ suma _ {i = 0} ^ {s}a_{i}y_{ni}+hk\suma _{j=-1}^{s}b_{j}y_{nj},}$

do czego można uprościć

${\ Displaystyle \ lewo (1-b_ {- 1} z \ prawej) y_ {n +1}-\suma _{j=0}^{s}\left(a_{j}+b_{j}z\right)y_{nj}=0}$

gdzie ${\ displaystyle z = hk}$ . Jest to liniowa zależność powtarzalności . Metoda jest A-stabilna, jeśli wszystkie rozwiązania $<0}$$)$ < $} ($ . Charakterystyczny wielomian to

${\ Displaystyle \ Phi (z, w) = w ^ {s + 1} - \ suma _ {i = 0} ^ {s} a_ {i} w ^ {si} -z \ suma _ {j = -1 }^{s}b_{j}w^{sj}.}$

$Displaystyle \ Phi (z, w) = 0}$ danej wartości $wszystkie$ rozwiązania leżą w jednostce ${$ ( koło.

${\ Displaystyle \ Phi (z, w) = 0}$$jest$ więc zbiorem wszystkich, wszystkie $takie$ , że zaspokoić ${\ displaystyle | w| <1}$ . Ponownie, jeśli ten zestaw zawiera lewą półpłaszczyznę, mówi się, że metoda wieloetapowa jest A-stabilna.

Przykład: metoda Adamsa-Bashfortha drugiego rzędu

Region różowy to region stabilności dla metody Adamsa-Bashfortha drugiego rzędu.

Wyznaczmy obszar absolutnej stabilności dla dwuetapowej metody Adamsa-Bashfortha

${\ Displaystyle y_ {n + 1} = y_ {n} + h \ lewo ({\ tfrac {3} {2}} f (t_ {n}, y_ {n}) - {\ tfrac {1} {2} }}f(t_{n-1},y_{n-1})\prawo).}$

Charakterystyczny wielomian to

${\ Displaystyle \ Phi (w, z) = w ^ {2} - \ lewo (1 + {\ tfrac {3 }{2}}z\right)w+{\tfrac {1}{2}}z=0}$

który ma korzenie

${\ Displaystyle w = {\ tfrac {1} {2}} \ lewo (1 + {\ tfrac {3} {2} }z\pm {\sqrt {1+z+{\tfrac {9}{4}}z^{2}}}\right),}$

tak więc jest regionem absolutnej stabilności

${\ Displaystyle \ lewo \ {z \ in \ mathbb {C} \ \ lewo |\ \ lewo | {\ tfrac {1} {2}} \ lewo (1 + {\ tfrac {3} {2}} z \ pm {\sqrt {1+z+{\tfrac {9}{4}}z^{2}}}\prawo)\prawo|<1\prawo.\prawo\}.}$

Ten region jest pokazany po prawej stronie. Nie $),$ całej lewej półpłaszczyzny (w rzeczywistości obejmuje tylko rzeczywistą oś pomiędzy metoda Adamsa – Bashfortha nie jest A

Teoria ogólna

Jawne metody wieloetapowe nigdy nie mogą być A-stabilne, podobnie jak jawne metody Runge-Kutty. Niejawne metody wieloetapowe mogą być A-stabilne tylko wtedy, gdy ich kolejność wynosi co najwyżej 2. Ten ostatni wynik jest znany jako druga bariera Dahlquista ; ogranicza użyteczność liniowych metod wieloetapowych dla sztywnych równań. Przykładem metody A-stabilnej drugiego rzędu jest wspomniana powyżej reguła trapezów, którą można również uznać za liniową metodę wieloetapową.

Zobacz też

• Formuła różniczkowania wstecznego , rodzina metod niejawnych stosowanych zwłaszcza do rozwiązywania sztywnych równań różniczkowych
• Numer warunku
• Inkluzja różniczkowa , rozszerzenie pojęcia równania różniczkowego, które pozwala na nieciągłości, częściowo w celu ominięcia niektórych problemów ze sztywnością
• Metody jawne i niejawne

Notatki

•   Ciężar, Richard L.; Faires, J. Douglas (1993), Analiza numeryczna (wyd. 5), Boston: Prindle, Weber and Schmidt, ISBN 0-534-93219-3 .
•   Dahlquist, Germund (1963), „Specjalny problem stabilności dla liniowych metod wieloetapowych”, BIT , 3 (1): 27–43, doi : 10.1007/BF01963532 , hdl : 10338.dmlcz/103497 , S2CID 120241743 .
• Eberly, David (2008), Analiza stabilności układów równań różniczkowych (PDF) .
• Ehle, BL (1969), O przybliżeniach Padé do funkcji wykładniczej i A-stabilnych metodach numerycznego rozwiązania problemów z wartościami początkowymi (PDF) , University of Waterloo .
• Bieg, CW (1971), Numeryczne problemy z wartością początkową w zwykłych równaniach różniczkowych , Englewood Cliffs: Prentice Hall , Bibcode : 1971nivp.book.....G .
• Gear, CW (1981), „Numeryczne rozwiązanie równań różniczkowych zwyczajnych: czy jest jeszcze coś do zrobienia?”, SIAM Review , 23 (1): 10–24, doi : 10,1137/1023002 ,
•   Włos, Ernst; Wanner, Gerhard (1996), Rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych II: Problemy sztywne i różniczkowo-algebraiczne (wyd. Drugie), Berlin: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-60452-5 .
• Hirshfelder, JO (1963), „Matematyka stosowana w chemii teoretycznej”, Sympozjum Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego : 367–376 .
•   Iserles, Arieh; Nørsett, Syvert (1991), Order Stars , Chapman & Hall , ISBN 978-0-412-35260-7 .
•   Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (wyd. 3), New York: Wiley , ISBN 0-471-50728-8 .
• Lambert, JD (1977), D. Jacobs (red.), „Problem z wartością początkową dla równań różniczkowych zwyczajnych”, The State of the Art in Numerical Analysis , New York: Academic Press : 451–501 .
•   Lambert, JD (1992), Metody numeryczne dla zwykłych systemów różniczkowych , Nowy Jork: Wiley , ISBN 978-0-471-92990-1 .
• Mateusz, Jan; Fink, Kurtis (1992), Metody numeryczne przy użyciu MATLAB .
•   Prasa, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Sekcja 17.5. Sztywne zestawy równań” . Przepisy numeryczne: sztuka obliczeń naukowych (wyd. 3). Nowy Jork: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8 .
• Shampine, LF; Gear, CW (1979), „Widok użytkownika na rozwiązywanie sztywnych równań różniczkowych zwyczajnych” , SIAM Review , 21 (1): 1–17, doi : 10,1137/1021001 .
•   Wanner, Gerhard; Włos, Ernst; Nørsett, Syvert (1978), „Gwiazdy porządku i teoria stabilności”, BIT , 18 (4): 475–489, doi : 10.1007/BF01932026 , S2CID 8824105 .
• Stabilność metod Runge-Kutty [1]

Linki zewnętrzne

• Wprowadzenie do modelowania opartego na fizyce: funkcje energetyczne i sztywność
• Sztywne systemy Lawrence F. Shampine i Skip Thompson Scholarpedia , 2 (3): 2855. doi:10.4249/scholarpedia.2855